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Differential geometry and analytical mechanics. (Géométrie différentielle et mécanique analytique.) (French) Zbl 0174.24602
Collection Méthodes, Séries Mathématique. Paris: Hermann & Cie. 183 p. (1969).
Vorliegendes Werk gehort in die Reihe der nicht sehr zahlreichen Schriften, die die moderne Sprache der Differentialgeometrie für die analytische Mechanik ausnutzen. Welche Rolle die lokale Differentialgeometrie in der modernen Behandlung der analytischen Mechanik einnimmt, spiegelt die Tatsache wieder, daß in diesem Buch von 156 Textseiten ganze 9 Seiten dem letzten Kapitel, das ,,Analytische Mechanik” lautet, angehören. Die analytische Mechanik ist dabei im Grunde genommen reduziert auf die Beschreibung des dynamischen Systems durch die Lagrangeschen und die Hamiltonschen gewöhnlichen Differentialgleichungen. Variationsprinzipien, Hamilton-Jacobische Theorie oder die Entwicklung der analytischen Mechanik aus der Newtonschen Punktmechanik treten nicht auf. So ist das Buch in erster Linie eine Einführung in die lokale Differentialgeometrie und die Differential- und Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten mit besonderer Berücksichtigung symplektischer Strukturen. Es unterstreicht die Bedeutung, die die Differentialformen und die Geometrie der Tangentialbündel für die analytische Mechanik haben. Definitionen und Sätze sind stets, Beweise meist in einer modernen intrinseken Sprache gehalten. Es ist sehr zu wünschen, daß dieser durchsichtige Stil weiteren Eingang in die analytische Mechanik findet. Vorliegendes Buch ist allerdings so formalistisch knapp gehalten, daß es ein Äquivalent für ein klassisches Buch über analytische Mechanik immer noch nicht darstellt.
Zum Inhalt im Einzelnen: Das Kapitel I behandelt die äußere Algebra. In Kapitel II werden topologische Vektorbündel und assoziierte Bündel eingeführt. Das III. Kapitel definiert (unendlich oft) differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Vektorbündel, insbesondere Tangentialbündel, Kotangentialbündel, sowie das Bündel der \(p\)-Formen einer Mannigfaltigkeit. Kapitel IV behandelt Differential- und Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten: Äußere Differentiation, Lie-Derivation sowie Integration von Differentialformen. Kapitel V ist der Integration von Vektorfeldern und Differentialsystemen gewidmet. Kapitel VI behandelt Charakteristisches System und Klasse einer Differentialform sowie lokale Darstellungen von Differentialformen 1. und 2. Grades. Kapitel VII führt den Begriff der symplektischen Mannigfaltigkeit und der Kontaktstruktur ein. Weiter werden Poissonklammern und Hamiltonsche Systeme behandelt. Kapitel VIII ist den Cartanschen Integralinvarianten sowie invarianten Differentialformen gewidmet. Kapitel IX und X behandeln die lokale Differentialgeometrie des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit, insbesondere die kanonischen Operatoren auf dem zweiten Tangentialbündel. Diese werden im letzten Kapitel benutzt, um den Lagrangeschen Aspekt der analytischen Mechanik auf dem Tangentialbündel und die Legendretransformation zu behandeln, die den Übergang zur Hamiltonschen Mechanik auf dem Kotangentialbündel liefert.
Reviewer: Klaus Horneffer

MSC:
53-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
53Bxx Local differential geometry
58Axx General theory of differentiable manifolds
70G45 Differential geometric methods (tensors, connections, symplectic, Poisson, contact, Riemannian, nonholonomic, etc.) for problems in mechanics