Symmetric spaces. I: General theory. II: Compact spaces and classification. (English) Zbl 0175.48601

Loos, Ottmar

Mathematics Lecture Note Series. New York-Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc. I: vii, 198 p. \( 12.50; II: vii, 183 p. \) 12.50 (1969).

Cet ouvrage présente de manière complète et originale l’essentiel de la théorie des espaces symétriques. La lecture est abordable à partir d’un niveau élémentaire. L’auteur met l’accent sur sa caractérisation algébrique des espaces symétriques; par là se trouve soulignée l’analogie avec la théorie des groupes de Lie, en particulier par l’étude de la structure tangente de “Lie triple système”, qui joue un rôle semblable à celui de l’algèbre de Lie pour un groupe de Lie. Sur un certain nombre de points, ce livre améliore considérablement et complète, sans le remplacer entièrement, l’ouvrage classique de Helgason, qui sert de référence de base.
Le premier volume est consacré à la théorie générale des espaces symétriques. Le chapitre 1 est une introduction concise et élégante au calcul différentiel sur les variétés: espaces tangents d’ordre supérieur, connexions linéaires, groupes de Lie. Une place particulière est réservée aux variétés avec multiplications, avec les notions d’automorphisme et de dérivation pour une telle variété.
Le chapitre II définit les espaces symétriques de façon purement algébrique comme des variétés munies d’une multiplication (symétrie) possédant certaines propriétés caractéristiques. Parmi les exemples, les groupes de Lie eux-mêmes, et les espaces homogènes symétriques obtenus à l’aide d’un automorphisme involutif sur un groupe de Lie. À un espace symétrique correspond, dans l’espace tangent en un point pris comme point base, une structure de Lie triple système, caractérisée par un “produit triple de Lie”. La connexion linéaire canonique est définie. Elle caractérise à son tour la structure. En fait, sur un espace symétrique connexe, le groupe des déplacements est transitif, et on est ramené au cas des espaces homogènes symétriques. Enfin, les espaces localement symétriques sont caractérisés par la donnée d’une connexion sans torsion et dont la courbure est à dérivée covariante nulle.
Le chapitre III étudie les sous-espaces d’un espace symétrique. Ils correspondent aux sous-systèmes du Lie triple système. En termes de connexion canonique, ce sont des sous-variétés totalement géodésiques. De mâle, les relations d’équivalence compatibles avec la structure symétrique (congruences) correspondent aux idéaux du Lie triple système.
Le chapitre IV étudie les décompositions des espaces symétriques riemanniens (c’est-à-dire dont le groupe d’isotropie est compact) connexes. Dans ce cas le Lie triple système associé est somme directe d’un idéal abélien, d’un idéal de type compact et d’un idéal de type non compact. La décomposition est globale si l’espace est simplement connexe. Les espaces symétriques de type abélien ou non-compact sont difféomorphes à un \(R^n\). Les espaces de type compact sont compacts et semi-simples (et réciproquement).


Le second volume est consacré à la classification. Le chapitre V contient la théorie classique des groupes de Lie compacte, tores maximaux, racines, groupe de Weyl.
Le chapitre VI fait une étude analogue pour les espaces symétriques compacts: tores maximaux, racines, groupe de Weyl, éléments singuliers. Le rapport entre tores maximaux d’un espace symétrique et tores maximale du groupe des déplacements est étudié.
Le chapitre VII donne la classification. Le problème est réduit à 1) classifier les Algèbres de Lie simples compactes. 2) classifier leurs automorphismes involutifs. L’étude est faite d’abord dans le cas plus simple des espaces classiques, puis à l’aide des techniques plus générales dans le cas des espaces exceptionnels. Le dernier paragraphe étudie les automorphismes extérieurs des espaces symétriques compacts.
Enfin le chapitre VIII contient une rapide introduction à l’étude des espaces symétriques hermitiens, des domaines symétriques bornés, des domaines de positivité et des algèbres de Jordan.

Reviewer: Pierre Molino (Montpellier)

MSC:

53C35	Differential geometry of symmetric spaces
53-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
53C30	Differential geometry of homogeneous manifolds
17A40	Ternary compositions
32M15	Hermitian symmetric spaces, bounded symmetric domains, Jordan algebras (complex-analytic aspects)
22E10	General properties and structure of complex Lie groups

Keywords:

symmetric spaces; compact spaces; classification; Lie triple system; compact Lie groups; maximal tori; roots; Weyl group; compact simple Lie algebras; involutive automorphisms; exterior automorphisms; compact symmetric spaces