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Class field theory. (English) Zbl 0176.33504
New York-Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc., xxvi, 259 pp. (1968).
Es handelt sich um den unveränderten Wiederdruck der bekannten und geschätzten Seminar Notes des Artin-Tate-Seminars an der Universität von Princeton 1951/52 (herausgegeben: Harvard, 1961). Die Verff. behandeln darin – unter Verwendung des Idealbegriffs und kohomologischer Methoden – die Klassenkörpertheorie der globalen Körper, d.h. der algebraischen Zahlkörper und der Funktionenkörper einer Variablen über endlichem Konstantenkörper. Die fehlenden ersten vier Kapitel, die Kohomologietheorie und lokale Klassenkörpertheorie beinhalten und zum Verständnis des Buches erforderlich sind, werden in der Einleitung skizziert. Zu einer gründlichen Erarbeitung dieser Theorien seien dem Leser das Buch von J. Neukirch [Klassenkörpertheorie. Bonn. Math. Schr. 26, 296 pp. (1967; Zbl 0165.36602)] oder auch die Lecture Notes einer von Artin 1950/51 in Princeton gehaltenen Vorlesung [E. Artin, Algebraic numbers and algebraic functions. New York etc.: Gordon and Breach (1967; Zbl 0194.35301)] empfohlen.
Inhaltsübersicht: Einleitung. Kapitel 5: Erste fundamentale Ungleichung. Kapitel 6: Zweite fundamentale Ungleichung. Kapitel 7: Reziprozitätsgesetz. Kapitel 8: Existenzsatz. Kapitel 9: Zusammenhangskomponente der Idelklassen. Kapitel 10: Satz von Grunwald. Kapitel 11: Theorie der höheren Verzweigungen. Kapitel 12: Explizite Reziprozitätsgesetze. Kapitel 13: Gruppenerweiterungen. Kapitel 14: Abstrakte Klassenkörpertheorie. Kapitel 15: Weilsche Gruppen.
Zur Inhaltsübersicht einige ergänzende Bemerkungen: Die Kapitel 5–8 enthalten die Beweise der grundlegenden Sätze der globalen Klassenkörpertheorie; eine ausführliche Theorie der Klassenformation befindet sich in Kapitel 14. Ausgehend von einer lokal-global Beziehung für \(m\)-te Potenzen wird in Kapitel 9 die Struktur der Zusammenhangskomponente der Eins in der Idelklassengruppe bestimmt und in Kapitel 10 u.a. der auf W. Grunwald [J. Reine Angew. Math. 169, 103–107 (1933; Zbl 0006.25204)] zurückgehende Satz bewiesen, dass es zu gegebenem globalen Körper \(k\), gegebener endlicher Menge von Primdivisoren \(\mathfrak p\) in \(k\) und gegebenen möglichen Erweiterungsgraden \(n_{\mathfrak p}\) von \(k_{\mathfrak p}\) stets eine zyklische Erweiterung \(K/k\) gibt, deren Grad das kleinste gemeinsame Vielfache der \(n_{\mathfrak p}\) ist und für die die lokalen Erweiterungen \(K_{\mathfrak p}/k_{\mathfrak p}\) vom Grade \(n_{\mathfrak p}\) sind.
Kapitel 11 enthält neben der Theorie der höheren Verzweigungen eine “allgemeine lokale Klassenkörpertheorie” (d.h. die zugrunde liegenden vollständigen Körper sind allgemeiner diejenigen, die einen vollkommenen Restklassenkörper haben, für den es zu jedem natürlichen \(n\) genau eine Erweiterung \(n\)-ten Grades gibt.
In Kapitel 12 wird mit Hilfe der lokalen Analysis das Normenrestsymbol in gewissen Kummerschen Körpern explizit bestimmt und ein Reziprozitätsgesetz für das \(m\)-te Potenzrestsymbol bewiesen, das das quadratische Reziprozitätsgesetz als Spezialfall enthält.
Kapitel 13 enthält u.a. einen schönen, weitgehend kohomologischen Beweis des Hauptidealsatzes und Kapitel 15 die Lösung (Shafarevich–Weil) der von Hasse gestellten Aufgabe, für eine Galoissche Körpererweiterung \(L\supset K\supset k\), \(L/K\) abelsch, die Invarianten der zugehörigen Gruppenerweiterung innerhalb \(K\) zu charakterisieren.
Auf folgende ausgezeichnete Bücher über Klassenkörpertheorie sei hingewiesen: J. W. S. Cassels und A. Fröhlich, Algebraic number theory, London, New York: Academic Press (1967; Zbl 0153.07403) und A. Weil, Basic number theory. Grundlehren Math. Wiss. Band 144. Berlin etc.: Springer (1967; Zbl 0176.33601).

MSC:
11R37 Class field theory
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R34 Galois cohomology
11S15 Ramification and extension theory
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics