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On ratio sets of sets of natural numbers. (English) Zbl 0177.07001

Acta Arith. 15, 273-278 (1969); corrigendum 16, No. 1, 103 (1969).
\(A\) bedeute eine Menge von natürlichen Zahlen. Wir bezeichnen mit \(R(A)\) die Menge aller rationalen Zahlen der \(\{\frac ab ; a,b\in A\}\). \(R(A)\) heißt die Quotientenmenge der Menge \(A\). Es gibt viele Ergebnisse über die Eigenschaften der Mengen \(R(A)\) bei speziellen \(A\), z. B.: \(R(P)\) ist eine im Intervall \([0,+\infty)\) dichte Menge, wenn \(P\) die Menge aller Primzahlen ist [vgl. W. Sierpiński, Elementary theory of numbers. Warszawa: PWN (1964; Zbl 0122.04402), S. 155]. Diese Arbeit ist dem Studium der folgenden zwei Fragen gewidmet:
Bei welchen Voraussetzungen über \(A\) ist die Menge \(R(A)\) mit der Menge \(R^+\) aller positiven rationalen Zahlen identisch oder dicht in \([0,+\infty)\)?
Die Grundergebnisse der Arbeit:
1) Wenn die obere asymptotische Dichte von \(A\) gleich 1 ist, dann ist \(R(A)=R^+\).
2) Wenn für \(A(n)\), \(A(n)= \sum_{a\leq n,\;a\in A}1\) eine asymptotische Beziehung der Form \(A(x)\sim c_1x/\log^\alpha x\), \(c_1, \alpha>0\) oder die Beziehung \(\lim_{n\to\infty}\frac{A(n)}{n}>0\) gilt, dann ist \(R(A)\) dicht in \([0,+\infty)\).

MSC:

11B05 Density, gaps, topology

Citations:

Zbl 0122.04402
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