Ensembles satisfaisant au principe du prolongement analytique en analyse \(p\)-adique. (French) Zbl 0177.07502

Motzkin, Elhanan; Robba, Philippe

C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 269, 126-129 (1969).

Soit \(K\) un corps valué ultramétrique, complet et algébriquement clos. Lorsqu’on veut édifier une théorie des fonctions analytiques sur \(K\), on s’aperçoit qu’on ne peut définir ces fonctions par des conditions de type local car, à cause du caractère ultramétrique de la valuation sur \(K\), si deux cercles ont une intersection non vide, l’un est contenu dans l’autre. (Notons d’ailleurs que \(K\) est totalement discontinu.)
En suivant la démarche de M. Krasner, on doit donner une caractérisation globale des fonctions analytiques: on dira que \(f\) est un élément analy-tique sur l’ensemble ouvert \(A\) si c’est la limite uniforme sur \(A\) de fractions rationelles sans pôles dans \(A\). Cette définition ne sera justifiée que si \(f\) satisfait alors au principe du prolongement analytique: “si \(f\) est nulle au voisinage d’un point \(a\) de \(A\), alors \(f\) est identiquement nulle dans \(A\)”. Il s’agit alors de déterminer les ensembles \(A\) pour lesquels ce principe est satisfait.
M. Krasner a défini une classe d’ensembles qu’il appelle quasi-connexes et qui satisfont à cette condition. Dans cet article, on construit d’autres ensembles qui satisfont à cette condition et qui ne sont pas quasi-connexes. On prouve de plus que l’on peut définir sur ces ensembles des fonctions analytiques qui ne peuvent pas être prolongées analytiquement sur un quasi-connexe.
L’outil essentiel de la démonstration est le polygône de valuation de \(f\) relatif au point \(a\) qui est le graphe de l’application \(\log \vert x- a\vert \to \log \vert f(x)\vert\). S’il existe un élément analytique \(f\) sur \(A\) qui ne satisfait pas au principe du prolongement analytique, en considérant sur polygône de valuation relatif aux différents points de \(K\), on obtient des conditions sur la répartition des “trous” de \(A\), c’est-à-dire les plus grands disques contenus dans \(\mathbf C\,A\).

Reviewer: Philippe Robba

MSC:

12J25	Non-Archimedean valued fields
12J27	Krasner-Tate algebras

Keywords:

analytic continuation; ultrametric valued field