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Topologie e strutture di convergenza. (Italian) Zbl 0178.25502

Unter einer Konvergenzstruktur für eine Menge \(X\) versteht Verf. eine „Frechet-Struktur“, d. h. es ist ein System von Frechetfolgen \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) \((\mathbb N\) die Menge der natürlichen Zahlen mit der natürlichen Ordnung), \(x_n\in X\), als konvergent ausgezeichnet. Als Axiome werden dabei die beiden Frechetschen und das Urysohnsche Axiom gefordert, jedoch kein Axiom über iterierte Limites. Es wird auch nicht verlangt, daß der Grenzwert einer Folge eindeutig bestimmt ist.
Verf. betrachtet nun zwei Kategorien, die Kategorie \(\mathfrak L\) der Mengen mit Konvergenzstrukturen und der limesstetigen Abbildungen und die Kategorie \(\mathfrak T\) der topologischen Räume und der stetigen Abbildungen. Ein Zusammenhang zwischen beiden Kategorien wird durch die beiden kovarianten Funktoren \(L: \mathfrak T\to\mathfrak L\), \(T: \mathfrak L\to\mathfrak T\) hergestellt. \(L\) ordnet jedem topologischen Raum \((X,\tau)\) den Raum \((X,\lambda(\tau))\) zu, wobei \(\lambda(\tau)\) die Konvergenzstruktur aller bezüglich \(\tau\) konvergenten Folgen ist; \(T\) ordnet jedem Konvergenzraum \((X,\lambda)\) den topologischen Raum \((X,\tau(\lambda))\) zu, wobei \(\tau(\lambda)\) die \(\lambda\) unterliegende Topologie ist \((A\subset X\) ist abgeschlossen bezüglich \(\tau(\lambda)\) genau dann, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Elementen aus \(A\) zu \(A\) gehört).
Der Inhalt der Arbeit besteht in einer ausführlichen Untersuchung der Zusammensetzung der Funktoren \(L\) und \(T\) und der Einschränkungen auf verschiedene Subkategorien von \(\mathfrak L\) und \(\mathfrak T\). Beispielsweise gilt \(LTL= L\) und \(TLT=T\) sowie daß \(LT\vert \mathfrak L_2\) die Identität ist, wobei \(\mathfrak L_2\) die Subkategorie von \(\mathfrak L\) der Räume \((X,\lambda)\), \(\lambda\) eine Konvergenzstruktur mit eindeutiger Limesbildung ist.
Reviewer: H. Poppe

MSC:

54-XX General topology

Keywords:

topology
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Full Text: Numdam EuDML