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Construction and application of a class of modular functions. II. (English) Zbl 0178.43001
Verf. setzt seine frühere Untersuchung [Proc. Lond. Math. Soc. (3) 7, 334–350 (1957; Zbl 0097.28701)] über Modulfunktionen zur Gruppe \(\Gamma_0(n)\) fort und eliminiert die Voraussetzung \((n,6)=1\).
Satz 1. Es durchlaufe \(\delta\) die Teiler von \(n>1\), und \(\{r_\delta\}\) sei eine Folge ganzer Zahlen mit den Eigenschaften \(r_1=0\), \(\frac 1{24} \sum_{\delta\mid n} (\delta-1)r_\delta\) ist ganz, \(\frac 1{24} \sum_{\delta\mid n} (n/\delta-n)r_\delta\) ist ganz und \(\prod_{\delta\mid n} \delta^{r_\delta}\) ist ein Quadrat. Dann ist \(g=\prod_{\delta\mid n} \varphi_\delta^{r_\delta}\) mit \(\varphi_\delta (\tau)=\eta(\delta\tau)/\eta(\tau)\) Modulfunktion zu \(\Gamma_0(n)\).
Sei \(F_n\) die Menge aller Modulfunktionen zu \(\Gamma_0(n)\), welche in der oberen Halbebene holomorph und in den parabolischen Spitzen meromorph sind und \(E_n\) die Teilmenge derjenigen Funktionen, welche in allen Spitzen \(\neq i\infty\) des Fundamentalbereiches negative Ordnung haben. Verf. konstruiert ganze Polynombasen von \(F_n\) und \(E_n\) in den Fällen \(n=6,10,14,15,21,22,26\), indem er mittels Satz 1 und genügend vielen Fourierkoeffizienten von \(g\) (welche auf einer IBM 704 errechnet wurden) Identitäten herleitet.

MSC:
11F03 Modular and automorphic functions
11F06 Structure of modular groups and generalizations; arithmetic groups
11F30 Fourier coefficients of automorphic forms
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