Spherical Fourier transform of type \(\delta\). Applications to semi-simple Lie groups. (Transformation de Fourier sphérique de type \(\delta\). Applications aux groupes de Lie semi-simples.) (French) Zbl 1008.43003

Kangni, Kinvi; Touré, Saliou

Ann. Math. Blaise Pascal 8, No. 2, 77-88 (2001).

Soit \(G\) un groupe de Lie connexe et \(K\) un sous-groupe de Lie compact de \(G\). Soit \(\delta\) une classe de représentation unitaire et irréductible sur \(K\). Soit \(\chi_\delta= d(\delta)\xi _\delta\) où \(d(\delta)\) est le degré de \(\delta\) et \(\xi_\delta \) son caractère. Une fonction sphérique \(\phi\) sur \(G\) de type \(\delta \) est une fonction continue quasi-bornée à valeur dans \(\text{End}_\mathbb{C}(E)\) où \(E\) est un espace vectoriel complexe de dimension finie vérifiant:
(1) \(\phi (kxk^{-1})=\phi (x)\;\;\forall \;x, k \in K\).
(2) \(\chi _\delta *\phi =\phi =\phi * \chi _\delta\).
(3) La transformée de Fourier sphérique de type \(\delta \), \[ {\mathcal F}: f\longmapsto {\mathcal F}(f) = \int_G f(x) \phi (x^{-1}) \;dx \] définie une représentation irréductible sur l’algèbre des fonctions continues sur \(G\), \(K\)-centrales et invariantes par le caractère \(\delta\). Quand \(K\) est un sous-groupe large, les auteurs construisent gr\(\hat{\text{a}}\)ce à la transformée d’Abel généralisée une transformée de Fourier sphérique de type \(\delta\). Dans le cas où \(G\) est le groupe de Lie réel \(SL_2(\mathbb{R})\), ils construisent explicitement, en utilisant des données du groupe, le sous-groupe \(K=SO(2)\), des transformées de Fourier sphériques de type \(\chi _n, n \in \mathbb{Z}\), où \(\chi _n\) est une classe d’équivalence de représentations unitaires et irréductibles sur \(K\).

Reviewer: Ali Baklouti (Sfax)

MSC:

43A30

Fourier and Fourier-Stieltjes transforms on nonabelian groups and on semigroups, etc.

Keywords:

large compact subgroup; spherical Fourier transform

References:

[1]	Bruhat, F.. Distribution sur un groupe localement compact et application à l’étude des représentations des groupes p-adiques. Bull. Soc. Math. France, 89:43-75, 1961. · Zbl 0128.35701
[2]	Kangni, K. et Touré, S.. Transformation de fourier sphérique de type δ. Ann. Math. Blaise Pascal, 3:117-133, 1996. · Zbl 0945.43004
[3]	Sugiura, M.. Unitary Representations and Harmonic Analysis. Kodansha Scientific Books, New-York, 1975. · Zbl 0344.22001
[4]	Warner, G.. Harmonic Analysis on Semi-simple Groups. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York, 1972. · Zbl 0265.22021