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Quadratic forms on \(\mathbb F_q[T]\). (Formes quadratiques sur \(\mathbb F_q[T]\).) (French) Zbl 1165.11313

From the text: Dans ce travail nous étudions des formes quadratiques polynomiales à quatre variables, prolongeant ainsi un résultat de M. Car [J. Number Theory 61, No. 1, 145–180 (1996; Zbl 0870.11076)]. ...
En utilisant la méthode du cercle, nous établissons essentiellement le théorème suivant:
Théorème. Soient \(D_1\) et \(D_2\) deux polynômes sans facteurs carrés et premiers entre eux. Alors,
(i)
tout polynôme \(M\in\mathbb F_q[T]\) premier à \(D_1D_2\) et de degré assez grand admet une représentation de la forme
\[ M=D_1(M_1^2+M_2^2)+ D_2(M_3^2+M_4^2) \]
où les polynômes \(M_1,\dots,M_4\) vérifient les conditions de degré: \(\deg M_i\leq m_i\) et \(\deg M\in \{2m_i+\deg A_i-1,2m_i+\deg A_i\}\). De plus, si \(R(M)\) désigne le nombre de ces représentations, on a:
\[ R(M)\gg \frac{q^{\deg M}}{\log(\deg M)}, \]
la constante intervenant dans le symbole \(\gg\) ne dépendant que de \(q\), \(D_1\), \(D_2\).
(ii)
Le même résultat reste valable pour tout polynôme \(M\) tel que \(-1\) soit un carré modulo tout polynôme irréductible \(P\) divisant le pgcd de \(D_1D_2\) et \(M\).

MSC:

11E12 Quadratic forms over global rings and fields
11T55 Arithmetic theory of polynomial rings over finite fields

Citations:

Zbl 0870.11076
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Numdam EuDML

References:

[1] Car, M.. Quadratic forms on φq[t]. Journal of Number Theory. 61 p. no145-180, 1996. · Zbl 0870.11076
[2] Kloosterman, H.D.. On the representations of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2. Acta Math.49 p. 407-464, 1926. · JFM 53.0155.01
[3] Prachar, K.. Primzahlverteilung. Springer-Verlag, Berlin, 1957. · Zbl 0080.25901
[4] Serre, J-P.. Corps locaux. 2nd ed.Hermann, Paris, 1968. · Zbl 0137.02601
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