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On the Ginzburg-Landau equation with magnetic field. (Sur l’équation de Ginzburg-Landau avec champ magnétique.) (French) Zbl 1213.58014

Journées “Équations aux dérivées partielles”, 2 au 5 juin 1998, Saint-Jean-de-Monts, France, Exposés Nos. I-XV. Nantes: Université de Nantes (ISBN 2-86939-133-1/pbk). Exp. No. 12, 13 p. (1998).
Summary: On étudie la fonctionnelle d’énergie de Ginzburg-Landau \[ J(u,A)=\frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla_A u|^2+|h-h_{ex}|^2+\frac{\kappa^2}{2}(1-|u|^2)^2, \] qui modélise les supraconducteurs cylindriques soumis à un champ magnétique extérieur \(h_{ex}\), dans l’asymptotique \(\kappa\to \infty\). On trouve et on décrit des branches de solutions stables des équations associées. On a une estimation sur la valeur critique \(H_{c_1}(\kappa)\) de \(h_{ex}\) correspondant à une “transition de phase” où des vortex (c.à.d. zéros de \(u\)) deviennent énergétiquement favorables. On obtient également dans le cas d’un disque, que pour \(h_{ex}\leq H_{c_1}\) comme pour \(h_{ex}\geq H_{c_1}\), il existe à la fois une solution sans vortex (unique), et des solutions à nombre de vortex arbitraires, chacune étant stable et minimisant l’énergie pour des domaines de champs précisés. En outre, les positions de leurs vortex tendent (lorsque \(\kappa\to \infty\)) à minimiser une fonction explicite simple, formant ainsi une sorte de réseau tel qu’on en observe physiquement.
For the entire collection see [Zbl 0990.00049].

MSC:

58E50 Applications of variational problems in infinite-dimensional spaces to the sciences
35Q56 Ginzburg-Landau equations
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Full Text: Numdam EuDML