Functors \(K^n\) in algebra and in topology. (Foncteurs \(K^n\) en algèbre et en topologie.) (French) Zbl 0182.57001

Karoubi, Max; Villamayor, Orlando

C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 269, 416-419 (1969).

Cette Note se propose de résoudre un problème précis: trouver une définition axiomatique des foncteurs \(K^n\) qui soit valable en \(K\)-théorie algébrique aussi bien qu’en \(K\)-théorie topologique. La méthode proposée ici s’inspire à la fois de la définition des groupes d’homotopie et de celle des groupes de cohomologie. Le résultat principal (dans le cas discret) est le suivant:
Pour tout anneau \(A\) (avec ou sans élément unité), on définit \(EA\) comme le sous-anneau de \(A[x]\) formé des polynômes \(P\) tels que \(P(0)=0\) et par \(\Omega A\) le sous-anneau de \(A[x]\) formé des polynômes \(P\) tels que \(P(0) = P(1) = 0\). Alors \[ K^{-1}(A) \approx \text{Ker}(K(\Omega A) \rightarrow K(EA))\quad\text{et}\quad K^{-n-1}(A)\approx K^{-n}(\Omega A),\quad n>0. \]
De manière duale, on définit \(CA\) comme l’anneau des \(A\)-endomorphismes de \(A[x]\) engendré par les transformations \(x^n\mapsto \lambda_n x^n\), les \(\lambda_n\) ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes, et par les transformations \(x^n\mapsto x^{\sigma(n)}\) où \(\sigma\) est une permutation de \(\mathbb N\). Alors \(\tilde A = \varinjlim A(n)\) est naturellement un idéal dans \(CA\) et on pose \(SA = CA/\tilde A\). On définit ensuite \(K^n(A)\), \(n\ge 0\), par récurrence sur \(n\) grâce à la formule \(K^{n+1}(A)=K^n(SA)\). Ces définitions se transposent sans peine au cas où \(A\) est un anneau normé convenable. Le cadre général ainsi proposé permet de retrouver de multiples définitions antérieures des foncteurs \(K^n\) dues à Bass, Nobile et au deuxième auteur (dans le cas discret) et au premier auteur de la Note (dans le cas des algèbres de Banach usuelles).

Reviewer: Max Karoubi

MSC:

55N15	Topological \(K\)-theory
46M15	Categories, functors in functional analysis
19Kxx	\(K\)-theory and operator algebras
19Lxx	Topological \(K\)-theory

Keywords:

functors \(K^n\); homotopy groups; cohomology groups; normed algebra