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Theory of Bessel potentials. II. (English) Zbl 0185.19703
Summary: Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe \(P^\alpha(\mathbb R^n)\) aux domaines ouverts \(D\subset \mathbb R^n\). On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe \(P^\alpha(D)\) ainsi obtenue.
On attaque ce problème en définissant de manière directe (§2) une classe \(\check P^\alpha(D)\subset P^\alpha(D)\) qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à \(P^\alpha(D)\).
L’égalité \(\check P^\alpha(D)=P^\alpha(D)\) est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension \(E:\check P^\alpha(D)\to P^\alpha(\mathbb R^n)\), linéaire et continu, tel que \(Eu\) soit une extension de \(u\). Si un tel opérateur \(E\) transforme continûment \(\check P^\alpha(D)\) dans \(P^\alpha(\mathbb R^n)\) pour tous les \(\alpha\) dans un intervalle \(\mathcal I\subset [0,\infty)\), on parle d’une extension simultanée relativement à \(\mathcal I\); un domaine \(D\) pour lequel une telle extension simultanée existe, appartient à la classe \(\mathcal E(\mathcal I)\). On donne, dans les §§7, 10, 11, des théorèmes déterminant des classes très générales de domaines appartenant à \(\mathcal E([0,\infty))\).
En particulier, on obtient que tous les domaines bornés, localement lipschitziens, et tous les polyhèdres \(n\)-dimensionnels géométriques dont la frontière forme une variété \((n-1)\)-dimensionnelle, appartiennent à \(\mathcal E([0,\infty))\). Pour les domaines convexes, non-bornés, on obtient des conditions géométriques simples, nécessaires et suffisantes pour qu’ils appartiennent à \(\mathcal E([0,\infty))\) (§12).

MSC:
31B15 Potentials and capacities, extremal length and related notions in higher dimensions
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
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