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Monodromy of isolated singularities of hypersurfaces. (Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen.) (German) Zbl 0186.26101

Es sei \(f\colon (X,x)\to (S,s)\) der Keim einer holomorphen Abbildung, \(X\) und \(S\) singularitätenfrei und \(\dim X = n+1\), \(\dim S=1\). \(f\) habe in \(x\) eine isolierte Singularität. Das bedeutet, daß für das von den partiellen Ableitungen von \(f\) erzeugte Ideal \((\partial f)\) der komplexe Vektorraum \(\mathcal O_{X,x}/(\partial f)\) endliche Dimension \(b_{f,x}\) hat. Es sei \(\Omega_{f,x}^\bullet\) der Komplex der Keime in \(x\) von holomorphen Differentialformen längs der Fasern von \(f\).
Satz 1: (i) \(H^0(\Omega_{f,x}^\bullet) \cong \mathcal O_{S,s}\), (ii) \(H_p(\Omega_{f,x}^\bullet) = 0\) für \(p\ne 0,n\), (iii) \(H^0(\Omega_{f,x}^\bullet)\) ist ein freier \(\mathcal O_{S,s}\)-Modul vom Rang \(b_{f,x}\).
Dabei ist die Torsionsfreiheit vom Autor nur vermutet, inzwischen aber von M. Sebastiani [ibid., 301–308 (1970)] bewiesen worden. Auf \(H^n(\Omega_{f,x}^\bullet)\) definiert man nach Wahl einer lokalen Koordinate in \(S\) den Keim eines singulären gewöhnlichen linearen Differentialoperators 1. Ordnung \(\nabla_{f,x}\) durch \(\nabla_{f,x} = dw/df\). Dann gilt:
Satz 2: \(\nabla_{f,x}\) ist regulär singulär.
Ferner gilt Satz 3: \(\nabla_{f,x}\) ist algebraisch. Das heißt, daß die Erweiterung von \(\nabla_{f,x}\) auf die Komplettierung von \(H^n(\Omega_{f,x}^\bullet)\) in geeignetem Sinn verträglich mit den Isomorphismen ist, die durch Automorphismen des Körpers der komplexen Zahlen \(\mathbb C\) induziert werden.
Als Anwendung dieser drei Sätze ergibt sich folgendes.
Proposition: Das charakteristische Polynom \(\Delta_{f,x}\) der Monodromie von \(\nabla_{f,x}\) ist in endlich vielen Schritten berechenbar (wobei als Schritte außer den rationalen Rechenoperationen für komplexe Zahlen auch das Auffinden einer Lösung eines endlichen Systems algebraischer Gleichungen zuzulassen ist).
Satz 4: \(\Delta_{f,x}\) ist ein Produkt cyclotomischer Polynome.
Der Beweis hierfür folgt aus dem 7. Hilbertschen Problem (sic!) und der topologischen Interpretation von \(\Delta_{f,x}\). Denn aus letzterer folgt, daß die Wurzeln von \(\Delta_{f,x}\) algebraisch sind, und danach aus Satz 1,2 und 3, daß sie von der Form \(e^{2\pi ia}\) mit algebraischem \(a\) sind.
Die topologische Bedeutung von \(\Delta_{f,x}\) ist folgende: Bei geeigneter Wahl der Repräsentanten wird \(f\) durch eine Abbildung \(f\colon (X,x) \to (S,s)\) repräsentiert, so daß gilt: \(f\colon X- f^{-1}(s) \to S-s\) ist ein differenzierbares Faserbündel mit typischer Faser \(X_t\), und die Monodromie von \(\nabla_{f,x}\) identifiziert sich mit der Aktion eines Erzeugenden von \(\pi_1(S-s,t)\) auf \(H^n(X_t,\mathbb C)\). Da letztere die Komplexifizierung einer Aktion auf \(H^n(X_t, Z)\) ist, folgt die Algebraizität der Wurzeln von \(\Delta_{f,x}\).
Die topologische Monodromie ist von J. Milnor untersucht worden [Singular points of complex hyper-surfaces. Princeton, N. J. 1968, Zbl. 184.484)]. Milnor stellt dort die Frage nach einem Algorithmus zur Berechnung von \(\Delta_{f,x}\). Die vorliegende Arbeit ist eine Antwort auf diese Frage. Sie hat mit den entsprechenden Untersuchungen von Grothendiecks Schule in Séminaire de Géometrie Algébrique, VII und anderswo die Benutzung des Gauß-Maninschen Zusammenhangs bzw. seines transzendenten Analogons auf der relativen de Rhamschen Kohomologie gemeinsam. Bei Grothendieck erfolgt jedoch der Beweis dafür, daß eine Potenz der Monodromie unipotent ist, durch Reduktion \(\bmod p\), und auch die Regularität des Zusammenhangs kann man nach Katz so beweisen.
In der vorliegenden Note wird hingegen nur mit der Kategorie der komplexen Räume gearbeitet. Die Theorie von Grothendieck und Deligne ist eleganter und allgemeiner, erfordert allerdings auch einen wesentlich höheren begrifflichen Aufwand. Das Verdienst der vorliegenden Arbeit besteht vielleicht darin, für den Fall der Hyperflächen eine rein punktale Konstruktion der Monodromie mit elementaren Mitteln auszuführen. Die Lösung des 7. Hilbertschen Problems ist allerdings auch nicht gerade elementar.
Reviewer: Egbert Brieskorn

MSC:

14D05 Structure of families (Picard-Lefschetz, monodromy, etc.)
14B05 Singularities in algebraic geometry
14J17 Singularities of surfaces or higher-dimensional varieties
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Full Text: DOI EuDML

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