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Monodromy of isolated singularities of hypersurfaces. (Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen.) (German) Zbl 0186.26101
Es sei \(f\colon (X,x)\to (S,s)\) der Keim einer holomorphen Abbildung, \(X\) und \(S\) singularitätenfrei und \(\dim X = n+1\), \(\dim S=1\). \(f\) habe in \(x\) eine isolierte Singularität. Das bedeutet, daß für das von den partiellen Ableitungen von \(f\) erzeugte Ideal \((\partial f)\) der komplexe Vektorraum \(\mathcal O_{X,x}/(\partial f)\) endliche Dimension \(b_{f,x}\) hat. Es sei \(\Omega_{f,x}^\bullet\) der Komplex der Keime in \(x\) von holomorphen Differentialformen längs der Fasern von \(f\).
Satz 1: (i) \(H^0(\Omega_{f,x}^\bullet) \cong \mathcal O_{S,s}\), (ii) \(H_p(\Omega_{f,x}^\bullet) = 0\) für \(p\ne 0,n\), (iii) \(H^0(\Omega_{f,x}^\bullet)\) ist ein freier \(\mathcal O_{S,s}\)-Modul vom Rang \(b_{f,x}\).
Dabei ist die Torsionsfreiheit vom Autor nur vermutet, inzwischen aber von M. Sebastiani [ibid., 301–308 (1970)] bewiesen worden. Auf \(H^n(\Omega_{f,x}^\bullet)\) definiert man nach Wahl einer lokalen Koordinate in \(S\) den Keim eines singulären gewöhnlichen linearen Differentialoperators 1. Ordnung \(\nabla_{f,x}\) durch \(\nabla_{f,x} = dw/df\). Dann gilt:
Satz 2: \(\nabla_{f,x}\) ist regulär singulär.
Ferner gilt Satz 3: \(\nabla_{f,x}\) ist algebraisch. Das heißt, daß die Erweiterung von \(\nabla_{f,x}\) auf die Komplettierung von \(H^n(\Omega_{f,x}^\bullet)\) in geeignetem Sinn verträglich mit den Isomorphismen ist, die durch Automorphismen des Körpers der komplexen Zahlen \(\mathbb C\) induziert werden.
Als Anwendung dieser drei Sätze ergibt sich folgendes.
Proposition: Das charakteristische Polynom \(\Delta_{f,x}\) der Monodromie von \(\nabla_{f,x}\) ist in endlich vielen Schritten berechenbar (wobei als Schritte außer den rationalen Rechenoperationen für komplexe Zahlen auch das Auffinden einer Lösung eines endlichen Systems algebraischer Gleichungen zuzulassen ist).
Satz 4: \(\Delta_{f,x}\) ist ein Produkt cyclotomischer Polynome.
Der Beweis hierfür folgt aus dem 7. Hilbertschen Problem (sic!) und der topologischen Interpretation von \(\Delta_{f,x}\). Denn aus letzterer folgt, daß die Wurzeln von \(\Delta_{f,x}\) algebraisch sind, und danach aus Satz 1,2 und 3, daß sie von der Form \(e^{2\pi ia}\) mit algebraischem \(a\) sind.
Die topologische Bedeutung von \(\Delta_{f,x}\) ist folgende: Bei geeigneter Wahl der Repräsentanten wird \(f\) durch eine Abbildung \(f\colon (X,x) \to (S,s)\) repräsentiert, so daß gilt: \(f\colon X- f^{-1}(s) \to S-s\) ist ein differenzierbares Faserbündel mit typischer Faser \(X_t\), und die Monodromie von \(\nabla_{f,x}\) identifiziert sich mit der Aktion eines Erzeugenden von \(\pi_1(S-s,t)\) auf \(H^n(X_t,\mathbb C)\). Da letztere die Komplexifizierung einer Aktion auf \(H^n(X_t, Z)\) ist, folgt die Algebraizität der Wurzeln von \(\Delta_{f,x}\).
Die topologische Monodromie ist von J. Milnor untersucht worden [Singular points of complex hyper-surfaces. Princeton, N. J. 1968, Zbl. 184.484)]. Milnor stellt dort die Frage nach einem Algorithmus zur Berechnung von \(\Delta_{f,x}\). Die vorliegende Arbeit ist eine Antwort auf diese Frage. Sie hat mit den entsprechenden Untersuchungen von Grothendiecks Schule in Séminaire de Géometrie Algébrique, VII und anderswo die Benutzung des Gauß-Maninschen Zusammenhangs bzw. seines transzendenten Analogons auf der relativen de Rhamschen Kohomologie gemeinsam. Bei Grothendieck erfolgt jedoch der Beweis dafür, daß eine Potenz der Monodromie unipotent ist, durch Reduktion \(\bmod p\), und auch die Regularität des Zusammenhangs kann man nach Katz so beweisen.
In der vorliegenden Note wird hingegen nur mit der Kategorie der komplexen Räume gearbeitet. Die Theorie von Grothendieck und Deligne ist eleganter und allgemeiner, erfordert allerdings auch einen wesentlich höheren begrifflichen Aufwand. Das Verdienst der vorliegenden Arbeit besteht vielleicht darin, für den Fall der Hyperflächen eine rein punktale Konstruktion der Monodromie mit elementaren Mitteln auszuführen. Die Lösung des 7. Hilbertschen Problems ist allerdings auch nicht gerade elementar.
Reviewer: Egbert Brieskorn

MSC:
14D05 Structure of families (Picard-Lefschetz, monodromy, etc.)
14B05 Singularities in algebraic geometry
14J17 Singularities of surfaces or higher-dimensional varieties
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Andreotti,A. - Grauert,H.: Théorèmes de finitude pour la cohomologie des espaces complexes. Bull.Soc.math. France 90, 193-259 (1962) · Zbl 0106.05501
[2] Bloom,T. - Herrera,M.: De Rham Cohomology of an Analytic Space. Inventiones Math. 7, 275-296 (1969) · Zbl 0175.37301 · doi:10.1007/BF01425536
[3] Bredon,G.: Sheaf Theory. 1. Aufl. New York: McGraw Hill 1967. · Zbl 0158.20505
[4] Brieskorn,E.: Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten. Inventiones Math. 2, 1-14 (1966) · Zbl 0145.17804 · doi:10.1007/BF01403388
[5] Clemens,C.H.: Picard-Lefschetz theorem for families of nonsingular algebraic varieties acquiring ordinary singularities. Trans.Amer.Math.Soc. 136, 93-108 (1969) · Zbl 0185.51302 · doi:10.1090/S0002-9947-1969-0233814-9
[6] Coddington,E. - Levison,N.: Theory of Ordinary Differential Equations. 1. Aufl. New York-Toronto-London: McGraw-Hill 1955.
[7] De Rham,G.: Sur la division de formes et de courants par une forme linéaire. Comment.math.Helv. 28, 346-352 (1954) · Zbl 0056.31601 · doi:10.1007/BF02566941
[8] Gelfond,A.: Sur le septième problème de D. Hilbert. Doklady Akad.Nauk. SSSR 2, 4-6 (1934) · JFM 60.0163.04
[9] Giblin,P.J.: Topology of Double Points of Rank Zero on Threefolds in C4. J.London Math.Soc. 44, 523-530 (1969) · Zbl 0167.21701 · doi:10.1112/jlms/s1-44.1.523
[10] Godement,R.: Théorie des faisceaux. 1. Aufl. Paris: Hermann 1958
[11] Grauert,H.: Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen. Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math.No.5 (1960) · Zbl 0158.32901
[12] Griffiths, Ph.A.: The Residue Calculus and some Transcendental Results in Algebraic Geometry I Proc.Nat.Acad.Sci. USA 55, 1303-1309 (1966) · Zbl 0178.23802 · doi:10.1073/pnas.55.5.1303
[13] Griffiths,Ph.A.: Periods of Integrals on Algebraic Manifolds, I und II. Amer. J.Math. 90, 568-626 und 805-865 (1968) · Zbl 0169.52303 · doi:10.2307/2373545
[14] Griffiths,Ph.A.: Some Results on Moduli and Periods of Integrals on Algebraic Manifolds, III. Vervielfältigtes Manuskript.
[15] Grothendieck,A.: Eléments de Géométrie Algébrique. Inst.Hautes Etudes Sci. Publ. Math.No. 1,11,32.
[16] Grothendieck,A.: Crystals and the De Rham Cohomology of schemes. In: Dix exposés sur la conomologie des schemas. Amsterdam: North-Holland Publ. Co. 1968.
[17] Hamm,H.: Die Topologie isolierter Singularitäten von vollständigen Durchschnitten komplexer Hyperflächen. Dissertation Univ. Bonn (1969)
[18] Hermann,G.: Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. Math.Ann. 95, 736-788 (1925) · JFM 52.0127.01 · doi:10.1007/BF01206635
[19] Hubert,D.: Mathematische Probleme. Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Klasse 1900, p. 251-297
[20] Katz,M. - Tadao Oda: On the differentiation of De Rham cohomology classes with respect to parameters. J.Math.Kyoto Univ. 8, 199-213 (1968) · Zbl 0165.54802
[21] Katz,M.: On the Differential Equations satisfied by Period Matrices. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 35, 71-106 (1968) · Zbl 0159.22502 · doi:10.1007/BF02698924
[22] Landman,A.: On the Picard-Lefschetz Formula for Algebraic Manifolds Acquiring General Singularities. Thesis, Berkeley 1967 (?), unveröffentlicht.
[23] Le Dung Trang: Singularités isolées des hypersurfaces complexes.Preprint.Centre de Mathématiques de l’École Polytechnique, Paris 1969
[24] Lefschetz,S.: L’Analysis Situs et la Géométrie Algébrique. Paris, Gauthier-Villars, 1924 · JFM 50.0663.01
[25] Leray,J.: Le calcul différentiel et intégral sur une variété analytique complexe (Problème de Cauchy,III). Bull.Soc.Math.France 87, 81-180 (1959) · Zbl 0199.41203
[26] Lutz,D.: Some Characterizations of Systems of Linear Differential Equations Having Regular Singular Solutions. Trans.Amer.Math.Soc. 126, 427-441 (1967) · Zbl 0153.11102 · doi:10.1090/S0002-9947-1967-0206370-7
[27] Mather,J.N.: Stability of C? Mappings,III: Finitely Determined Map-Germs. Inst.Hautes Études Sci. Publ. Math. No.35, 127-156 (1968) · Zbl 0159.25001 · doi:10.1007/BF02698926
[28] Milnor,J.: On isolated singularities of hypersurfaces. Vervielfältigtes Manuskript (1966) · Zbl 0146.45501
[29] Milnor,J.: Singular points of complex hypersurfaces. Ann.of Math. Studies Number 61, Princeton: Princeton University Press 1968 · Zbl 0184.48405
[30] Moser,J.: The order of a singularity in Fuchs’ theory. Math.Z. 72, 379-398 (1960) · Zbl 0117.04902 · doi:10.1007/BF01162962
[31] Pham,F.: Formules de Picard-Lefschetz généralisées et ramification des intégrales. Bull.Soc.Math. France 93, 333-367 (1965) · Zbl 0192.29701
[32] Picard,E. - Simart,G.: Théorie des fonctions algébrique de deux variables indépendantes I, Chapitre IV. Paris: Gauthier-Villars 1897.
[33] Reiffen,H.-J.: Das Lemma von Poincaré für holomorphe Differentialformen auf komplexen Räumen. Math.Z. 101, 269-284 (1967) · Zbl 0164.09401 · doi:10.1007/BF01115106
[34] Schneider,Th.: Transzendenzuntersuchung periodischer Funktionen I. Transzendenz von Potenzen. J. Reine Angew. Math. 172, 65-69 (1934) · Zbl 0010.10501
[35] Schwartz,L.: Homomorphismes et applications complètement continues. C.R.Acad.Sci.Paris 236, 2472-2473 (1953) · Zbl 0050.33301
[36] Serre,J.-P.: Géométrie algébrique et géométrie analytique. Ann.Inst. Fourier 6, 1-42 (1956)
[37] Verdier,J.-L.: Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts. Sém. Bourbaki 1965/66, Exposé 300. · Zbl 0171.21501
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