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Partielle Mengen und Zahlen. (German) Zbl 0188.32404
“Es soll der in der oben referierten Arbeit [Zbl 0188.32402] entwickelte Begriff der partiell definierten Menge durch Einführung mehrwertiger Grundbeziehungen – statt wie bisher nur zweiwertiger – weiter untersucht werden. Dabei gelangt man zu einer Kardinalzahlarithmetik, die im endlichen Bereich mit der Intervallarithmetik [K. Nickel, Numer. Math. 9, 69–79 (1966; dies. Zbl 0154.41905); N. Apostolatos und U. Kulisch, Computing 2, 89–104 (1967; Zbl 0159.21203)] für Intervalle natürlichzahliger Endpunkte zusammenfällt. Die aus der dreiwertigen Theorie der partiellen Mengen resultierenden dreiwertigen oder partiellen reellen Zahlen sind damit gerade die Intervalle der Intervallarithmetik (Nickel, loc. cit.). Auf Grund dieses Zusammenhanges lassen sich unsere Betrachtungen über mehrwertige reelle Zahlen auch so deuten, daß man in die Intervallarithmetik mehrwertige Relationen aufnimmt und mit ihrer Hilfe eine Interpretation geometrischer Begriffe und Sachverhalte versucht. Die geometrischen Objekte (Punkte, Abstände,..,) sind jetzt nicht durch exakte Zahlenangaben vorgegeben oder zu bestimmen, sondern nur durch Zahlenintervalle mit einer gewissen Fehlerbreite, einer gewissen Ungenauigkeit. Das entspricht dem praktischen Umgang mit geometrischen Sätzen, wo man auf Messungen angewiesen ist. Für gegen Null konvergierende Ungenauigkeiten müssen die aufzustellenden mehrwertigen Begriffe und Gesetzmäßigkeiten in Begriffe und Gesetze der klassischen Geometrie übergehen. In der vorliegenden Note wollen wir die Einführung mehrwertiger Grundbeziehungen in die Betrachtungen über partielle Mengen skizzieren bis zum mehrwertigen Gleichmächtigkeits- und Anordnungsbegriff. Eine spätere Arbeit soll auf dieser Grundlage partielle Kardinalzahlen und partielle reelle Zahlen behandeln im Zusammenhang mit der erwähnten Intervallarithmetik und der mehrwertigen Interpretation geometrischer Begriffe und Sachverhalte.”(Einleitung.)
Ist \(y\) ein beliebiges Element und \(X'\) eine Menge mit \(X_+\subseteq X'\subseteq X_\#\) für eine partiell definierte Menge \(X= [X_+,X_\#]\) (vgl. obiges Referat), so bedeutet inhaltlich: \(y\in X_+\): Es ist nachgeprüft, daß \(y\in X'\) ist. \(y\in \) Komplement von \(X_\#\): Es ist nachgeprüft, daß \(y\notin X'\) ist. \(y\in X_\# - X_+\): Weder \(y\in X'\) noch \(y\notin X'\) ist nachgeprüft.
Analog zu dieser Dreiwertigkeit der Elementbeziehung werden in der Arbeit alle mengentheoretischen Beziehungen dreiwertig eingeführt. Alle Beziehungen werden in einem starken Sinne \(+\) und in einem schwachen Sinne \(\#\) definiert. Die meisten der Beziehungen lassen sich noch in einem Zwischensinne \(*\) erklären. Anhand der Inklusion möge das demonstriert werden: Für partiell definierte Mengen \(A\) und \(B\) sei:
\[ A \subseteq {}_+B \leftrightarrow A_\# \subseteq B_+,\quad A\subseteq {}_\#B \leftrightarrow A_+ \subseteq B_\#,\quad A\subseteq {}_*B\leftrightarrow A_+\subseteq B_+ \wedge A_\# \subseteq B_\# .\]
Es gilt dann:
\[ A\subseteq {}_+B \longrightarrow A\subseteq {}_*B \longrightarrow A\subseteq {}_\#B. \]
An mehrwertiger Geometrie werden behandelt: Ebene, Abstand, Dreieck, Kreis, Gerade und Schnittpunkte von Geraden.

MSC:
03E99 Set theory
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