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Das Problem der Quadratur des Kreises und der Lambertsche Beweis der Irrationalität der Zahl \(\pi\). (Czech) Zbl 0192.01403
Eine kurzgefaßte, mit dem Werdegang der Aufklärung über den Charakter der Zahl \(\pi\), insbesondere mit dem Anteil von J. H. Lambert an diesem Werdegang bekanntmachende Arbeit. Sie stützt sich auf die bekannte Ausgabe von [F. Rudio, Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Leipzig: B. G. Teubner (1892; JFM 24.0050.02)], ergänzt diese hauptsächlich mit Lambertschem Material und der russischen Ausgabe von Al-Káši’s Traktat über den Kreis. Bei der Auslegung hält sie sich an Rudios Zeiteinteilung. Sie wiederholt die Hauptergebnisse der ersten, durch geometrischen Zutritt zum Problem und annähernde Berechnung von \(\pi\) charakterisierte Etappe: Ahmes, Hippias, Hippokrates, ausführlicher Archimedes, die Mathematiker des Orients bis zu Al-Káši’s Berechnung mit einer Genauigkeit von \(10^{-17}\), Vieta, van Ceulen und detailliert Huygens. Die nächsten Etappen charakterisieren Infinitesimal-Methoden: Wallis – unendliches Produkt, Leibniz – unendliche Reihen, John Machin, de Lagny, dann hauptsächlich L. Euler und seine Betonung der Beziehung zwischen goniometrischen und Exponentialfunktionen. Sein Ausdruck für \(e\) in Kettenbruchform wird dann zur Grundlage von Lamberts Betrachtungen über die Irrationalität von \(\pi\), die eingehend näher ausgeführt werden.
Die Verf. macht darauf aufmerksam, daß Lambert sich auf de Lagny’s Satz stützt (die Tangente eines rationalen Bogens ist irrational), den sie beweist; gleichzeitig erbringt sie den Beweis, daß notwendigerweise auch der umgekehrte Satz, daß ein irrationaler Bogen eine rationale Tangente hat, gilt. Da der Bogen \(45^\circ\) eine rationale Tangente hat, kann das Verhältnis dieses Bogens zum Halbmesser (und auch dessen Vielfachen, somit der ganze Kreis) keinen rationalen Wert annehmen.
Die Verf. erinnert ebenfalls an Lamberts Ergänzung des Beweises, zugleich deutet sie jedoch Lamberts Vermutung an, die mit einer späteren ähnlichen Vermutung von Legendre identisch ist, daß \(\pi\) und \(e\) überhaupt keine algebraischen Zablen sind, Lindemanns Anteil an der Lösung des Problems wird nicht erwähnt.
Reviewer: Jaroslav Folta
MSC:
01A50 History of mathematics in the 18th century
11-03 History of number theory
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Full Text: EuDML