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Algèbres d’éléments analytiques au sens de Krasner dans un corps valué non archimédien complet, algébriquement clos. (French) Zbl 0192.40203

L’objet de cette étude est de préciser quelles propriétés une partie \(D\) d’un corps valué non archimédien, complet, algébriquement clos doit vérifier pour que l’ensemble \(H(D)\) des éléments analytiques sur \(D\) au sens de Krasner puisse être muni d’une structure d’algèbre de Banach intègre et d’algèbre de Banach noethérienne. La réponse à ces questions nécessite l’introduction des notions d’ensemble infraconnexe et de \(T\)-filtre qui permettent d’aboutir aux principales conclusions suivantes: \(H(D)\) est une algèbre de Banach intègre si et seulement si \(D\) est infraconnexe sans couple de \(T\)-filtres complémentaires; \(H(D)\) est une algèbre de Banach noethérienne si et seulement si \(D\) est un fermé borné dont les composants infraconnexes sont en nombre fini et chacune ouverte et sans \(T\)-filtre ou réduite à un point. Ces résultats obtenus essentiellement par des procédés de calcul trouvent une application à l’analycité qui sera développée ultérieurement. D’autre part, il font apparaître que les seuls filtres non triviaux de \(D\) sont les filtres de voisinage des points de \(D\) et les \(T\)-filtres. De plus, sous certaines conditions, ces filtres caractérisent les idéaux maximaux de \(H(D)\).

MSC:

12J27 Krasner-Tate algebras
12J25 Non-Archimedean valued fields
46J15 Banach algebras of differentiable or analytic functions, \(H^p\)-spaces
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