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Algebra. (English) Zbl 0193.34701
Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., XVIII, 508 p. (1965).
Das Buch besteht aus den drei Teilen: “Gruppen, Ringe und Moduln”, “Körpertheorie” und “Lineare Algebra und Darstellungstheorie”, welche ihrerseits in Kapitel unterteilt sind.
Schon im ersten Teil wird die Tendenz des Autors deutlich, nicht eine systematische Einführung von Begriffen samt Aufzählung mehr oder weniger einfacher Eigenschaften anzustreben, sondern möglichst bald relevante Aussagen herzuleiten. Die Kapitelüberschriften von Teil I lauten: “Gruppen”, “Ringe”, “Moduln”, “Homologie”, “Polynome” und “Noethersche Ringe und Moduln”. Nach kuzer Behandlung des Gruppenbegriffs, welche Sätze über Sylow-Gruppen einschließt, werden im ersten Kapitel Kategorien, Funktoren und kategorientheoretische Konstruktionen eingeführt. Es folgen Anwendungen dieser Begriffe bei verschiedenen universellen Konstruktionen. Im Kapitel über Ringe findet man den Chinesischen Restsatz und das Lokalisierungsprinzip. Das vierte Kapitel behandelt auf wenigen Seiten die Homologiesequenz von Modulkomplexen, die Eulersche Charakteristik eines Komplexes und den Satz von Jordan-Hölder. Das letzte Kapitel schließt mit der Herleitung der Primärzerlegung für Noethersche Moduln.
Teil II umfaßt die Kapitel “Algebraische Erweiterungen”, “Galois-Theorie”, “Ringerweiterungen”, “Transzendente Erweiterungen”, “Reelle Körper”, “Bewertungen”. Grundbegriffe der Körpertheorie enthält das erste Kapitel. Das nächste Kapitel lehnt sich im Aufbau an Artins bekannte “Galoissche Theorie” [E. Artin, Galoissche Theorie (Leipzig 1959, dies. Zbl 0086.25703; 2. Auflage 1965; Zbl 0133.26402)] an. Es folgen Betrachtungen über ganz-abgeschlossene Ringe; in galoisschen Erweiterungen derselben werden die auf Hilbert zurückgehenden Begriffe Zerlegungsgruppe und Trägheitsgruppe entwickelt. Im Kapitel über transzendente Erweiterungen findet sich neben Hilberts Nullstellensatz und Bemerkungen über algebraische Mannigfaltigkeiten ein Abschnitt über Derivationen mit Anwendungen auf separabel erzeugte Körpererweiterungen. Die Artin-Schreier Theorie reeller Körper wird im nächsten Kapitel behandelt. Grundbegriffe der Bewertungstheorie sind im letzten Kapitel zusammengestellt.
Mit einem Kapitel über Matrizen und lineare Abbildungen beginnt Teil III. Der Struktur von Bilinearformen ist das folgende Kapitel gewidmet. In diesem Zusammenhang wird der Satz von Witt bewiesen, die Wittsche Gruppe und die Witt-Grothendieck-Gruppe eingeführt, Der Sylvestersche Trägheitssatz behandelt und die zu einer symmetrischen Bilinearform gehörige Clifford-Algebra konstruiert. Abschließend wird der Spektralsatz für den Hermiteschen und den symmetrischen Fall bewiesen. Strukturuntersuchungen von Moduln über Hauptidealbereichen führen zur Herleitung der Jordanschen Normalform einer Matrix. Ein weiteres Kapitel behandelt Tensorprodukte, alternierende und symmetrische Produkte und den Grothendieck-Ring einer Gruppe. Die Strukturtheorie halbeinfacher Ringe wird aus dem Dichtesatz von Jacobson entwickelt. Ein Kapitel über Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschließt diesen dritten Teil, dessen Leitthema die Struktur von Moduln und Ringen ist. Ein Anhang enthält Transzendenzbeweise für \(e\) und \(\pi\). An jedes Kapitel schließt eine Reihe von meist schwierigen Übungsaufgaben, die den im Textteil dargestellten Stoff ergänzen.
Einem Leser ohne algebraische Vorkenntnisse und Routine wird das Buch vermutlich Schwierigkeiten bereiten. Daher sollte man es dem Hörer eines Kurses über Algebra höchstens als begleitende Lektüre in die Hand geben; im Anschluß an eine Vorlesung sollte man es aber jedem besonders empfehlen. Nicht wie bei Bourbaki ist eine möglichst systematische Darstellung das Ziel des Autors. Er wählt vielmehr aus und setzt Schwerpunkte. Dies gelingt so vortrefflich, daß man in lebendiger Darstellungsweise auf knappem Raum eine imponierende Fülle an Material zusammengetragen findet. Der Leser wird in die verschiedensten Bereiche der Algebra eingeführt. Da die einzelnen Kapitel weitgehend unabhängig voneinander lesbar sind, eignet es sich vorzüglich zur Orientierung. Seit B. L. van der Waerdens “Algebra” dürfte hier neben Bourbakis Werk das umfassendste Lehrbuch der Algebra in zeitgemäßer Sprache vorliegen, das sich in den Jahren nach seinem Erscheinen herforragend bewährt und einen festen Platz in der Literatur erworben hat.
Reviewer: K. Plewe

MSC:
00A05 Mathematics in general
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
15-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to linear algebra
16-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to associative rings and algebras
18-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to category theory
20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory