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On the large sieve method in algebraic number fields. (English) Zbl 0198.07101

In der vorliegenden Arbeit wird zunächst eine Ungleichung von Bombieri und Davenport auf beliebige algebraische Zahlkörper \(K\) mit \([K:\mathbb Q] = n\) verallgemeinert. Das Resultat soll der Einfachheit halber hier nicht zitiert werden. Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß in den zugehörigen Beweisen keine spezielle Ganzheitsbasis zugrundegelegt wird, so daß insbesondere die auftretenden Konstanten tatsächlich nur vom Körper abhängen.
Als Anwendung der genannten Ungleichung ergibt sich folgende Verallgemeinerung des Satzes von Brun-Titchrnarsh über die Anzahl von Primzahlen in Parallelotopen auf Zahlkörper: Sei \(k\) ein ganzes Ideal von \(K\), \(\beta\in K\) sei eine ganze Zahl mit \((\beta,k) =1\). Seien \(M_1,\ldots, M_{r_1}\) nicht negative, \(P_1,\ldots, P_n\) positive reelle Zahlen mit \(P_l = P_{l + r_2}\), \(l = r_1 + 1, \ldots, r_1 + r_2\), wobei \(r_1\), \(r_2\) die übliche Bedeutung haben. Man setze noch \(P = P_1\cdots P_n\). Mit \(B\) werde die Anzahl der ganzen Zahlen \(\omega\in K\) bezeichnet, die folgenden Bedingungen genügen: \(\omega\equiv\beta\pmod k\), \((\omega)\) ein Primideal,
\[ M_l \le \omega^{(l)} \le M_l + P_l,\quad l =1,\ldots, r_1;\quad \vert\omega^{(l)}\vert \le P_l,\quad l = r_1,\ldots, n. \]
Falls \(P\ge 2\) und \(Nk\le P(\log P)^{-(2r+2/n)}\), \(r = r_1 + r_2 - 1\), dann gilt:
\[ B \le 2\frac{2^{3r_2}}{\alpha_K\vert\sqrt D\vert} \frac{P}{\varphi(k)\log(P/Nk)} \left\{1+ O\left((\log\left(\frac{P}{Nk}\right)^{-1/n}\right)\right\}. \]
Dabei hängt die \(O\)-Konstante nur von \(K\) ab und ist unabhängig von \(k\); \(\alpha_K\) ist das Residuum der zu \(K\) gehörigen Dedekindschen Zetafunktion. Für reell-quadratische Körper \(K\) erkennt man im Falle \(M_1 = M_2 = 0\) durch Vergleich mit einer von Rademacher angegebenen asymptotischen Formel, daß obiges Hauptglied sich vom wirklichen Hauptglied nur um den Faktor 2 unterscheidet.

MSC:

11R45 Density theorems
11N35 Sieves
11N36 Applications of sieve methods
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References:

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