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On iterated functions. (Ueber iterirte Functionen.) (German) JFM 02.0200.01
Ist \(F (z)\) eine beliebige eindeutig gegebene Funktion von \(z\), so wird die \(r\) fach iterite Funktion \(F^r (z)\) durch die recurrenten Gleichungen definirt: \[ F^1 (z) = F(z),\quad F^2 (z) = FF(z) \dots F^r (z) = F^{r-1} F(z), \] woraus die Relationen hervorgehen: \[ F^{r_1} F^{r_2} (z) = F^{r_1 + r_2} (z) = F^{r_2} F^{r_1} (z) \]
\[ \{F^{r_1}\}^{r_2} (z) = F^{r_1 r_2} (z) = \{F^{r_2}\}^{r_1} (z). \] Durch diese Fundamentalgleichungen ist auch die Ausdehnung des Begriffes iterirter Funktionen für beliebige (reelle und complexe) Werthe von \(r\) gegeben. Insbesondere bedeutet \[ w = F^{-r}(z)\text{ die Auflösung der Gleichung }F^r (w) = z, \]
\[ w = F^{\frac{p}{q}} (z)\text{ die der Gleichung }F^q (w) = F^p (z). \] Fasst man \(F^r (z)\) als Funktion zweier Argumente \(r\) und \(z\) auf, so kann sie auch durch die Differenzengleichung: \[ \varPhi (r, z) = \varPhi (r - 1 , F (z)) \] mit der Anfangsbedingung \(\varPhi (1, z) = F (z)\) definirt werden, zu deren näherer Bestimmung die Forderung hinzugefügt wird, dass die Funktion einen analytischen Ausdruck habe. Es wird nun zunächst für die iterirten Funktionen der von Hoppe (Schlömilch Z. V. 136) und Serret (Cours d’algébre supérieure t. II. p. 329) bereits behandelten linear gebrochenen Funktionen \(F (z) = \frac{\alpha_0 z + \alpha_1} {\beta_0 z + \beta_1}\), der einzigen, von der bisher die Wiederholungen untersucht sein sollen, eine neue Darstellung gegeben und die Curve, auf welcher sich der Punkt \(F^r (z)\) bewegt, wenn \(r\) von \(-\infty\) bis \(+ \infty\) wächst, discutirt. Zur Auffindung neuer iterabler Funktionen wird folgendes Princip aufgestellt: Ist \(\varPhi (z)\) eine Funktion, deren Iteration \(\varPhi^r (z)\) bekannt ist, ist ferner \(z = \psi (\zeta)\), mithin \(\zeta = \psi^{-1} (z)\), dann ist, wenn man die Funktion bildet: \[ F (z) = \psi \{\varPhi (\psi^{-1} (z))\}, \] ihre Wiederholung: \[ F^r (z) = \psi \{\varPhi^r (\psi^{-1} (z))\}. \] Daraus werden die beiden Folgerungen gezogen: 1) Besteht für die Funktion \(\psi (\zeta)\) ein Additionstheorem, so dass \[ \psi (\zeta + h) = F\{\psi (\zeta)\} \text{ oder } \psi \{\psi^{-1} (z) + h\} = F(z), \] dann nehme man \(\varPhi (\zeta) = \zeta + h\), und man erhält, da \(\varPhi^r (\zeta) = \zeta + rh\), für die Wiederholung von \(F (z)\): \[ F^r (z) = \psi\{\psi^{-1} (z) + rh\}. \] 2) Besteht für \(z = \psi (\zeta)\) ein Multiplikationstheorem, so dass \[ \psi (m \zeta) = F(\psi (\zeta)),\text{ oder }\psi\{m \psi^{-1} (z)\} = F(z), \] dann erh\"lt man unter der Annahme \(\varPhi (\zeta) = m \zeta\), woraus \(\varPhi^r (\zeta) = m^r \zeta\) für die Wiederholung von \(F (z)\): \[ F^r (z) = \psi \{m^r \psi^{-1} (z)\}. \] Unter den Anwendungen, die von vorstehenden Theoremen gemacht werden, heben wir die Iteration derjenigen rationalen Funktionen hervor, welche erhalten werden, wenn man für \(\psi (\zeta)\) die elliptischen Funktionen \((\sin \text{am\,} \zeta)^2\), \(\cos \text{am\,} \zeta\), \(\varDelta \text{\,am\,} \zeta\) mit dem Modul \(k\) wählt, und das Multiplikationstheorem für den speciellen Fall \(m = 2\) anwendet. Es ergiebt sich als Iteration der Funktionen: \[ F (z) = \frac{4z(1 - z)(1 - k^2 z)}{1 - k^2 z^2 },\quad F(z) = \frac{z^2 - (1 - z^2)(1 - k^2 + k^2 z^2)}{1 - k^2 (1 - z^2)^2} , \] respective: \[ F^r(z) = \left\{ \sin \text{am\,} \left(2^r \int^{\sqrt{z}}_{0} \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2 x^2)}}\,, k \right) \right\}^2 \]
\[ F^r (z) = \cos \text{am\,} \left(2^r \int^{\sqrt{1 - z^2}}_{0} \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2) (1 - k^2 x^2)}}\,, k \right) \] \((\psi (\zeta) = \varDelta \text{\,am\,} \zeta\) liefert eine Funktion, die aus der \(2^{\text{ten}}\) durch Vertauschung von \(k\) mit \(\frac{1}{k}\) hervorgeht).
Das oben erwähnte Princip liefert ferner, indem für \(\psi\) eine linear gebrochene Funktion, für \(\varPhi (z)\) die Funktion \(\frac{2z}{1_z^2}\) gesetzt wird, deren Wiederholungen unter den Beispielen zu den vorhergehenden Theoremen bereits angegeben sind, die Iteration einer Klasse gebrochener Funktionen \(2^{\text{ten}}\) Grades, zwischen deren 5 Coefficientenverhältnissen 2 Relationen bestehen.
Darauf wird die Iteration solcher Funktionen \(F(z)\), die sich durch eine Maclaurin’sche Potenzreihe mit dem Terme \(z\) als Anfangsglied darstellen lassen, eingehend betrachtet, und mit Benutzung der Coefficientenausdrücke in der Entwickelung der verschiedenen Potenzen von \(F(z)\) nach steigenden Potenzen von \(z\) für die Coefficienten der Reihenentwickelung der iterirten Funktion \(F^r (z)\) ein Bildungsgesetz aufgestellt, in Folge dessen dieselben als ganze Funktionen von \(r\) erscheinen, und welches für \(r = -1\) das Umkehrungsproblem der Funktion \(F (z)\) enthält. Zum Schluss wird unter Bezugnahme auf eine frühere Arbeit des Verfassers [“Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen.” Clebsch Ann. II. 317–365 (1870; JFM 02.0042.02)] mit Hilfe der erlangten Ergebnisse der Nachweis geliefert, dass die gebräuchlichen Näherungs-Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen: \[ z' = z - \frac{f}{f'} \text{ und } z' = z - \frac{ff'}{f^{\prime 2} - ff''}, \] für eine quadratische Gleichung gegen eine der beiden Wurzeln convergiren.

MSC:
37F99 Dynamical systems over complex numbers
Citations:
JFM 02.0042.02
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