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On the integration of the partial differential equation \(\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{d^2 u}{dy^2} = 0\) with prescribed boundary and discontinuity conditions. (III. Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{d^2 u}{dy^2} = 0\) unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen.) (German) JFM 02.0214.03
I. Für die Integration der angegebenen Differentialgleichung sind folgende Bedingungen vorgeschrieben: Das Gebiet der Veränderlichen \(x\), \(y\) soll eine einfache Kreisfläche \(S\) vom Radius 1 sein, die Werthe von \(u\) sollen innerhalb und auf der Grenze von \(S\) endlich und stetig, längs der Grenze von \(S\) aber gegeben sein. Das Integral \[ u = \frac{1}{2 \pi} \int^{2 \pi}_{0} f (\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos (\varphi - \psi ) + r^2} d \psi \] genügt allen diesen Bedingungen, wenn \(r\) und \(\varphi\) die Polarcoordinaten von \(x, y\) in Bezug auf den Mittelpunkt von \(S\) als Pol, und \(f(\psi)\) den gegebenen Werth von \(u\) für \(r = 1\), \(\varphi = \psi\) bedeutet.
II. Ist für die Veränderlichen \(x\), \(y\) ein solcher Bereich \(T\) gegeben, dass er aus zwei einfacheren Bereichen \(T_1\) und \(T_2\) zusammengesetzt werden kann, die ein Gebiet \(T^*\) gemeinsam haben, existirt ferner für jeden einzelnen der beiden Bereiche \(T_1\) und \(T_2\) allemal eine Funktion \(u\), welche im Innern des Bereiches endlich ist, an der Grenze desselben aber beliebig vorgeschriebene, einer oder mehreren stetigen Folgen angehörige, endliche Werthe annimmt, und Gleichung \(\varDelta u=0\) genügt, dann lässt sich durch den genannten Grenzübergang die Existenz einer Funktion \(u\) von denselben Eigenschaften für den Bereich \(T = T_1 + T_2 - T^*\) nachweisen.
Das Verfahren ist in Kürze folgendes. Die Begrenzungen von \(T_1\) und \(T_2\) theilen sich gegenseitig in vier Gruppen von Strecken \(L_0\), \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\), in der Weise, dass \(L_0\) und \(L_2\) die Begrenzung von \(T_1\), \(L_1\) und \(L_3\) die von \(T_2\) bilden, während \(L_0\) und \(L_3\) das Gebiet \(T\) vollständig einschliessen, \(L_1\) und \(L_2\) dagegen innerhalb \(T\) liegen. Nach der Voraussetzung existiren nun zwei Reihen von Funktionen \(u_1,u_3,\dots u_{2n+1} \dots\) und \(u_2,u_4, \dots u_{2n} \dots,\) welche für die Gebiet \(T_1\) resp. \(T_2\) definirt sind, der Gleichung \(\varDelta u = 0\) genügen und in folgender Beziehung zu einander stehen. \(u_{2n + 1}\) hat längs \(L_0\) die der gesuchten Funktion \(u\) vorgeschriebenen Werthe und stimmt längs \(L_2\) mit \(u_{2n}\) überein; \(u_{2n}\) hat längs \(L_3\) die vorgeschriebenen Werthe und stimmt längs \(L_1\) mit \(u_{2n - 1}\) überein. Der Werth von \(u_1\) längs \(L_2\) kann dabei beliebig gewählt werden. \(u_{2n + 1}\) und \(u_{2n}\) nähern sich nun mit wachsendem \(n\) zwei Grenzfunktionen \(u'\) und \(u''\) , welche für \(T_1\) resp. \(T_2\) definirt sind und innerhalb \(T^*\) übereinstimmen. Daraus folgt aber unmittelbar die Existenz einer Funktion \(u = u' = u''\) von den verlangten Eigenschaften für den ganzen Bereich \(T = T_1 + T_2 - T^*\).
III. Der Verfasser theilt in diesem Auszuge ein Verfahren mit, die bekannten Riemann’schen Sätze über die Integration der Differentialgleichung \(\varDelta u = 0\) abzuleiten, ohne dass dabei das Dirichlet’sche Princip zur Anwendung kommt.
Die Hauptschwierigkeit liegt hierbei darin, dass zunächst ein Beweis für die Existenz der Funktion \(u\) geliefert werden muss. Der Beweis wird im Wesentlichen auf folgende Schlüsse gestützt.
Wenn sich zwei Bereiche conform auf einander abbilden lassen, in der Art, dass die erste Ableitung der die Abbbildung vermittelnden analytischen Funktion im Innern der Bereiche niemals gleich 0 oder \(\infty\) wird, wenn ferner für den einen Bereich die Gleichung \(\varDelta u = 0\) unter beliebigen Grenzbedingungen integrirt werden kann, so ist damit dieselbe Integration auch für den andern Bereich geleistet. Für eine einfache Kreisfläche ist jene Integration leicht auszuführen (siehe I.); dasselbe gilt für die von zwei Kreisbogen begrenzte Mondfigur und das Kreissegment, für das ebene Dreieck, für das Kreissegment, für das Kreisbogendreieck, in welchem zwei Eckenwinkel rechte sind, und für den Kreissector, da sich diese Bereiche auf den Kreis conform abbilden lassen. Jeder von geraden Strecken und Kreisbogen begrenzte Bereich kann aus diesen einfacheren Bereichen so zusammengesetzt werden, dass die Voraussetzungen des in II. angedeuteten Verfahrens erfüllt sind; damit ist dann die Existenz einer Funktion von den angegebenen Eigenschaften auch für diesen zusammengesetzten Bereich begründet.
Dieser Satz kann nun auf einen von einer endlichen Anzahl analytischer Linien umschlossenen Bezirk durch folgendes Hülfsmittel ausgedehnt werden. Es lässt sich, wenn eine beliebige analytische Linie gegeben ist, stets ein Gebiet abgrenzen, welches ein Stück dieser Linie enthält und in der Art auf eine von zwei Kreisbogen begrenzte Mondfigur abgebildet werden kann, dass jenem Stück der Linie die Sehne der Mondfigur entspricht. Das hier angegebene Verfahren gilt auch noch, wenn der gegebene Bereich auf einer von ebenen oder sphärischen Flächen gebildeten Polyederoberfläche ausgebreitet ist.
Am Schlusse der Mittheilung zeigt der Verfasser noch, wie man durch, den vorhergehenden ganz analoge, Mittel auch noch den Fall erledigen kann, dass die Funktion \(u\) im Innern des gegeben Bereiches gewisse vorgeschriebene Unstetigkeiten besitzen soll. Die Behandlung dieser Unstetigkeiten lässt hinreichend erkennen, dass die angegebenen Beweismethoden für die Theorie der Abel’schen Integrale dasselbe leisten, was Riemann mit Hülfe des Dirichlet’schen Princips abgeleitet hat.

MSC:
31A05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in two dimensions
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