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On the integration of the partial differential equation \(\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{d^2 u}{dy^2} + k^2 u = 0\). (Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung: \(\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{d^2 u}{dy^2} + k^2 u = 0\).) (German) JFM 02.0217.01
Es werden in dieser Abhandlung die Eigenschaften einer Funktion \(u\), welche jener Gleichung genügt, gründlich untersucht, und die Bedingungen festgestellt, denen \(k^2\) unterworfen ist, wenn die Funktion geforderte Grenzbedingungen erfüllen soll. – Auf Einzelheiten lässt sich hier ohne grosse Ausführlichkeit nicht eingehen. Die wirkliche Ausführung der Integration durch eine stetige Funktion gelingt bei folgenden Grenzgestalten der Integrationsfläche: Rechteck, Kreis, confocale Parabeln, confocale Ellipsen. Im letzteren Falle bleibt aber noch die Integration der Gleichungen \[ \frac{d^2 X}{d \xi^2} - (A^2 K^2 \sin^2 i \xi - \lambda) X = 0, \] \[ \frac{d^2 Y}{d \eta^2} + (A^2 K^2 \cos^2 \eta - \lambda) Y = 0 \] zu leisten übrig, was dem Verfasser in übersichtlicher Form nicht gelingt. Mathieu hat in Liouville J. die ersten Glieder der auflösenden Reihen berechnet, ohne das allgemeine Gesetz zu bestimmen.

MSC:
31A99 Two-dimensional potential theory
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