On hypergeometric functions of the \(n^{\text{th}}\) order. (Ueber hypergeometrische Funktionen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung.) (German) JFM 02.0265.01

Pochhammer, L.

Borchardt J. LXXI, 316-352 (1870).

Unter dieser Bezeichnung werden Funktionen verstanden, welche für \(n = 2\) in die bekannten Gauss’schen hypergeometrischen Funktionen übergehen und , auch hiervon abgesehen, ein ihnen analoges Verhalten zeigen.
Sie lassen sich durch die Differentialgleichung \[ \varphi (x) \frac{d^n y}{dx^n} + \sum^{k = 0}_{k = n - 1} (-1)^{n -k} \left\{ (\lambda - k - 1)_{n - k} \varphi^{(n - k)}(x) +\right. \] \[ \left.(\lambda - k - 1)_{n - k - 1} \psi^{(n - k - 1)}(x) \right\} \frac{d^k y}{dx^k} = 0 \] definiren, in welcher \(\varphi (x)\) eine ganze Funktion \(n^{\text{ten}}, \psi (x)\) eine ganze Funktion \((n - 1)^{\text{ten}}\) Grades und \(\lambda\) eine Constante bedeutet. Sie besitzen ausser \(x = \infty\) noch \(n\) endliche singuläre (Unendlichkeits- und Verzweigungs-) Punkte \(a_1 , a_2 , \dots a_n\), und ihre verschiedenen Zweige sind gleich Integralen von der Form: \[ \text{Const. } \int^{h}_{g} (u - a_1)^{b_1 - 1}(u - a_2)^{b_2 - 1} \cdots (u - a_n)^{b_n - 1}(u - x)^{\lambda - 1} du, \] wo \(g\) und \(h\) je zwei der \((n + 1)\) Grössen \(a_1 , a_2 , \dots a_n\) und \(x\) bedeuten. Für jeden der \(n\) singulären Punkte \(a_1 , a_2 , \dots a_n\) existiren je \((n-1)\) wesentlich von einander verschiedene particuläre Integrale, welche convergent entwickelbar sind, und je ein \(n^{\text{tes}}\) welches durch Division mit einer Potenz von \((x - a_{\nu})\) eindeutig und von Null verschieden wird; ähnlich für \(x = \infty\).

Reviewer: Worpitzky, Dr. (Berlin)

MSC:

33C99

Hypergeometric functions

Keywords:

\(n^{\text{th}}\)-order hypergeometric functions