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On a problem of integral calculus. (Sur un problème de calcul intégral.) (French) JFM 02.0289.01

Ann. de l’Éc. Norm. VI, 177-185 (1869); C. R. LXVIII, 1132-37 (1869).
Herr Crofton hat der Pariser Akademie (C. R. LXV. p. 994) folgenden Satz mitgetheilt:
“Eine Fläche \(\Omega\) werden von einer convexen Grenzlinie von beliebiger Gestalt und der totalen Länge \(L\) umschlossen; nennt man \(\vartheta\) den Winkel, welchen die beiden von einem äusseren Punkte \((x,y)\) an diese Grenzlinie gezogenen Tangente mit einander bilden, so ist \[ \iint (\vartheta-\sin\vartheta)dx\,dy= \frac12 L^2-\pi\Omega, \] wenn das Doppelintegral über die ganze Ebene ausserhalb der Grenzlinie erstreckt wird”. S. Forschr. d. M. I. 75, JFM 01.0075.05.
\(x\) und \(y\) bedeuten hier rechtwinklige Coordinaten.
Von diesem Satze, auf welchen Crofton Betrachtungen, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung entnommen sind, geführt haben, giebt der Verfasser einen analytischen Beweis, nachdem er zuvor angemerkt, dass die Formel bestehen bleibt, wenn die Grenzlinie, statt eine continuirliche Curve zu sein, aus geraden und krummen Linien zusammengesetzt ist, die einen beliebigen Winkel mit einander bilden, sofern man alsdann unter \(\vartheta\) denjenigen Winkel versteht, unter welchem die Grenzlinie \(L\) vom Punkte \((x,y)\) aus erscheint. Es genügt offenbar, um diese Formel in ihrer ganzen Allgemeinheit abzuleiten, die Beschränkung auf den Fall, dass der Umfang \(L\) ein geradliniges convexes Polygon von beliebig vielen Seiten ist. Der für diesen Fall geführte Beweis, so elegant er übrigens ist, lässt sich in Kürze nicht wiedergeben. Es sei nur angedeutet, dass das Integral der Art in Theilintegrale zerlegt wird, dass ein solcher Theil sich über alle die Punkte \((x,y)\) ausserhalb \(L\) erstreckt, deren äusserste Gesichtslinien durch dieselben zwei Ecken des Polygons hindurch gehen, und darauf die allen möglichen Combinationen der vorhandenen Eckpunkte zu je zweien entsprechenden Theilintegrale summirt werden. Statt der Coordinaten \(x,y\) werden die Winkel \(\alpha,\beta\) als Variable eingeführt, welche die vom Coordinatenursprung – der im Innern von \(L\) angenommen ist – auf die beiden äussersten Gesichtslinien des Punktes \((x,y)\) gefällten Senkrechten mit der positiven Abscissenachse bilden. Im zweiten Theil des Mémoire wird in ähnlicher Weise ein anderer ebenfalls von Crofton aufgestellter Satz abgeleitet, des Inhalts, dass, wenn in einer eine Fläche \(\Omega\) umschliessenden convexen Grenzlinie \(C\) eine Sehne, \(p\) die Distanz dieser Sehne von einem festen Punkt \(O\), \(\vartheta\) den Winkel zwischen der Geraden \(p\) und einer festen Geraden \(OX\) bedeutet, die Formel gilt: \[ \iint C^3\,dp\,d\vartheta= 3\Omega^2, \] wo die Integration sich auf alle Werthe von \(p\) und \(\vartheta\) erstreckt, welche eine reelle Sehne \(C\) geben.

MSC:

26B15 Integration of real functions of several variables: length, area, volume

Citations:

JFM 01.0075.05
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