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On the passage from differences to differentials. (Sur le passage des différences aux différentielles.) (French) JFM 02.0299.01
Nouv. Ann. (2) VIII. 385-388. 1869 (1869).
Die Beweise für den Satz \[ \text{lim.\,} \frac{\Delta^ny} {\Delta x^n}=\frac{d^ny}{dx^n}, \] wie sie sich in den bestempfohlenen Lehrbüchern der Differentialrechnung finden, scheinen dem Verfasser wenig befriedigend. Sein Beweis des Theorems, in welchem er behufs grösserer Allgemeinheit annimmt, dass die successiven Zuwachse von \(x\) die gleichen oder ungleichen Grössen \(h,h_1,h_2\) etc. seien, ist folgender:
Es ergiebt sich unmittelbar durch die Definition der \(\Delta\) udn \(d\) \[ \frac{d(\Delta y)}{dx}= \Delta\biggl( \frac{dy}{dx} \biggr) \] und hieraus durch Schluss von \(n\) auf \(n+1\): \[ \Delta^n \biggl( \frac{dy}{dx} \biggr)= \frac{d(\Delta^n y)}{dx}. \] Es sei nun \(\varepsilon\) eine mit \(h\) verschwindende Grösse, dann ist durch Definition: \[ \frac{\Delta u}{h}= \frac{dy}{dx}+ \varepsilon, \] und wenn \[ \frac{\Delta u}{h}= y_1,\quad \frac{dy}{dx}= y' \] gesetzt wird: \[ \frac{\Delta y_1}{h_1}= \frac{dy_1}{dx}+ \varepsilon_1, \quad \frac{\Delta y'}{h_1}= \frac{dy'}{dx}+ \varepsilon', \] wo \(\varepsilon_1\) und \(\varepsilon'\) ebenfalls mit \(h\) verschwindende Grössen sind. Aber \[ \frac{dy_1}{dx}= \frac 1h \frac{d(\Delta y)}{dx}= \frac 1h \Delta\biggl( \frac{dy}{dx} \biggr)= \frac{\Delta y'}{h}, \] also \[ \frac{\Delta y_1} {h_1}= \frac{dy'}{dx}+ \varepsilon'+ \varepsilon_1, \] d. h. \[ \frac{\Delta^2y}{hh_1}= \frac{d^2y}{dx^2}+ \varepsilon'+ \varepsilon_1, \] und hieraus: \[ \text{lim.\,} \frac{\Delta^2y}{hh_1}= \frac{d^2y}{dx^2}. \] Durch Schluss von \(n\) auf \(n+1\) wird dann die allgemeine Formel bewiesen: \[ \text{lim.\,} \frac{\Delta^ny} {hh_1\dots h_{n-1}}= \frac{d^ny}{dx^n}. \]
MSC:
26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
Full Text: EuDML