On a double integral. (Sur une intégrale double.) (French) JFM 02.0302.01

Didon, F.

Ann. de l’Éc. Norm. VII, 89-96 (1870).

Es handelt sich um den Werth des Doppelintegrals: \[ \iint (1- 2ax+a^2)^{-\frac\mu2} (1-2by+b^2)^{-\frac\mu2} (1-x^2- y^2)^{\frac\mu2-1}\,dx\,dy, \] wo \(\mu\) eine ganze positive Zahl, \(a<1\), \(b<1\), und die Integration sich auf die Werthe von \(x\) und \(y\) erstreckt, welche der Bedingung \(x^2+y^2\leqq 1\) genügen. Setzt man: \[ (1-2ax+ a^2)^{-\lambda-\frac12}= \sum a^nP_n(x), \] wo \(\lambda\) eine positive ganze Zahl, so erhält man durch \(\lambda\)malige Differentiation von \[ (1-2ax+ a^2)^{-\frac12}=\sum a^nX_n(x) \] die Beziehung: \[ P_n(x)= \frac{1}{1.3.5\dots (2\lambda-1)} \frac{d^\lambda X_{n+\lambda}(x)} {dx^\lambda}. \] Es wird nun vermittelst bekannter Eigenschaften der Legendre’schen Funktionen \(X_n(x)\) abgeleitet, dass \[ \iint P_n(x) P_{n'}(y) (1-x^2- y^2)^{\lambda-\frac12}\,dx\,dy=0, \] ausser wenn \(n=n'=2m\), und indem zugleich für diesen ausgeschlossenen Fall der Werth des Doppelintegrals ermittelt wird, erhält man: \[ \iint (1-2ax+ a^2)^{- \lambda-\frac12} (1-2by+ b^2)^{-\lambda-\frac12} (1-x^2- y^2)^{\lambda-\frac12}\,dx\,dy, \] durch eine unendliche Reihe ausgedrückt, welche summirt durch das bestimmte Integral \[ \frac{2\pi} {\alpha^{2\lambda+1}} \int_0^\alpha \alpha^{2\lambda} (1+\alpha^4)^{-\lambda- \frac12}\,d\alpha \] dargestellt werden kann, wo \(\alpha=ab\).
Indem das nämliche Verfahren auf die Entwickelung: \[ -\log(1-2ax+ a^2)=2 \sum a^nR_n(x) \] angewandt wird, aus welcher man durch \(\lambda\)maliges Differentiiren nach \(x\) die Beziehung: \[ Q_n(x)= \frac{1}{1.2.3\dots (\lambda-1).2^{\lambda-1}} \frac{d^\lambda R_{n+\lambda}(x)} {dx^\lambda} \] erhält, wo \(Q_n(x)\) den Coefficienten von \(a^n\) in der Entwickelung von \((1-2ax+ a^2)^{- \lambda}\) bedeutet, ergiebt sich für das Doppelintegral \[ \iint (1- 2ax+ a^2)^{-\lambda} (1-2by+ b^2)^{-\lambda} (1-x^2-y^2)^{\lambda-1}\, dx\,dy \] eine Reihe, deren Summe gefunden wird: \[ =\frac{\pi} {1.2.3\dots (\lambda-1)} \cdot \frac{d^{\lambda-1}U} {d\alpha^{\lambda-1}}, \] wo \(\alpha=ab\), und \(U\) abgesehen vom Vorzeichen entweder gleich \(\text{arctg\,} \alpha\) vermindert um die \(\frac{\lambda-1}{2}\) ersten Glieder der Entwickelung von \(\text{arctg\,} \alpha\) nach wachsenden Potenzen von \(\sqrt{\alpha}\), oder gleich \(\frac12\log (1+\alpha)\) vermindert um die Hälfte der \(\frac\lambda2-1\) ersten Glieder der Entwickelung von \(\log(1+\alpha)\) nach wachsenden Potenzen von \(\alpha\), je nachdem \(\lambda\) ungrade oder grade ist.

Reviewer: Hamburger, Dr. (Berlin)

MSC:

33E20

Other functions defined by series and integrals

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integral-Rechnung. Capitel 3. Integralrechnung.

Keywords:

Functions defined by integrals