Expansions in series of polynomials in an arbitrary number of variables. (Développements sur certaines séries de polynomes à un nombre quelconque de variables.) (French) JFM 02.0304.02

Didon, F.

Ann. de l’Éc. Norm. VII, 247-268 (1870).

Wird das Polynom \(P_{m,n}\) definirt als: \[ P_{m,n}= k_{m,n} \frac{1} {(y^2-1)^{m+\frac12}} \cdot \frac{d^n(y^2- 1)^{m+n+\frac12}} {dy^n} \cdot \frac{d^n(x^2+ y^2-1)^m} {dx^m}, \] worin \(k_{m,n}\) eine Constante bezeichnet, so betrachtet der Verfasser das Doppelintegral \[ \iint P_{m,n} P_{m',n'}\, dx\,dy, \] erstreckt über alle Punkte innerhalb des Kreises \(x^2+y^2=1\). Diese Funktionen \(P_{m,n}\), die das Doppelintegral unter der Bedingung, dass \((m-m')^2+ (n-n')^2\) von Null verschieden ist, verschwinden machen, haben die grösste Analogie mit den Kugelfunktionen; jede beliebige Funktion zweier Variabeln kann durch sie annähernd ausgedrückt werden. Ferner untersucht der Verfasser eine Reihe von Polynomen \(P_{m,n}\), welche der allgemeineren Gleichung \[ \iint P_{m,n} P_{m',n'} f(x,y)dx\, dy=0, \] mit der Bedingung, dass nicht zugleich \(m=m'\), \(n=n'\) ist, genügen. Die Integration kann hier innerhalb irgend eines Bereiches gemacht werden. Solche Funktionen hängen zusammen mit dem Integral \(\iint \frac{f(z,z')dz\,dz'} {(x-z)(y-z')}\) und führen zu einer Verallgemeinerung der Theorie des Integrals \(\int_a^b \frac{f(z)dz} {x-z}\). Die Ausdehnung der gewonnenen Resultate auf beliebig viele Variable ist sehr einfach.

Reviewer: Müller, Felix, Dr. (Berlin)

MSC:

33C50

Orthogonal polynomials and functions in several variables expressible in terms of special functions in one variable

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integral-Rechnung. Capitel 3. Integralrechnung.

Keywords:

Orthogonal polynomials in several variables