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On two systems of partial differential equations. (Sur deux systèmes d’équations aux dérivées partielles.) (French) JFM 02.0324.01

In einer früheren Arbeit: Étude de certaines fonctions analogues aux fonctions \(X_n\) etc., welche der Verfasser vor Kurzem in demselben Journal veröffentlicht hat, war für jede der Funktionen \(U_{m,n}\) und \(V_{m,n}\) ein System zweier linearer partieller Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung entwickelt und für das erste dieser Systeme waren zwei Polynome als Lösungen gegeben worden. Im ersten Theile der vorliegenden Abhandlung wird die eine dieser Lösungen unter der Form eines bestimmten Doppelintegrals gegeben, und eine neue Lösung hinzugefügt, welche unter der Form eines einfachen bestimmten Integrals erscheint, und alsdann für jede Reihe, welche aus den beiden Reihen entsteht, wenn man \(m\) und \(n\) aller möglichen positiven ganzzahligen Werthe ertheilt, mit Hülfe der Lagrange’schen Umkehrungsformel in ihrer auf zwei Variable erweiterten Gestalt, die entsprechende erzeugende Funktionen hergestellt.
Im zweiten Teile wird die vollständige Lösung des Systems der beiden linearen partiellen Differentialgleichungen, denen \(V_{m,n}\) genügt, gegeben und nachgewiesen, dass dasselbe nur eine einzige Lösung zulässt, welche ein Polynom ist, nämlich den Coefficienten von \(x^my^n\) inder Reihenentwickelung von \[ (1-2ax+ 2by+ a^2+b^2)^{-1}, \] wodurch \(V_{m,n}\) ursprünglich definirt war. Für die 3 anderen Funktionen, denen das System noch genügt, werden ebenfalls die erzeugenden Funktionen entwickelt, und einer der letzteren einige merkwürdige Umformungen gegeben. Im \(3^{\text{ten}}\) Theile wird \(V_{m,n}\) unter der Form eines bestimmten Doppelintegrals und für sehr grosse Werthe von \(m+n\) in anähernder Weise durch ein einfaches bestimmtes Integral dargestellt. Schliesslich wird zwischen der Legendre’schen Funktion \(X_n\) und \(U_{m,n}\) eine Analogie aufgewiesen, die darin besteht, dass wie \[ f(x)= \frac{1.2\dots n.2^n} {(n+1)(n+2)\dots2n} X_n \] unter allen Polynomen \(n^{\text{ten}}\) Grades mit dem Coefficienten 1 in \(x^n\), dasjenige ist, welches das bestimmte Integral \[ \int_{-1}^{+1} f^2(x)dx \] zu einem Minimum macht, so \[ \varphi(x,y)= \frac{m!n!2^{m+n}} {(m+1) (m+2)\dots 2m(n+1)(n+2)\dots 2n}\cdot \frac{m!n!} {1.2\dots (m+n)} U_{m,n} \] unter allen Polynomen \(m+n^{\text{ten}}\) Grades, mit dem Coefficienten 1 in \(x^my^n\), dasjenige ist, welches das Integral \[ \iint \varphi^2(x,y)dx \] zu einem Minimum macht, wo die Variablen der Bedingung \(x^2+ y^2\leq 1\) genügen.

MSC:

35C10 Series solutions to PDEs
35N10 Overdetermined systems of PDEs with variable coefficients
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Full Text: Numdam EuDML