×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the use of imaginary numbers in geometry. (Sur l’emploi des imaginaires en géométrie.) (French) JFM 02.0339.01
Nouv. Ann 2) IX. 163-175. 241-254. 1870 (1870).
Die zuerst genannte Arbeit ist eine Reproduction der ersten der Vorlesungen, welche Laguerre über höhere Geometrie gehalten hat. Die zweite ist der erste einer Reihe von Artikeln, welche einige Punkte der Theorie der Kegelschnitte, die in den zuerst erwähnten Vorlesungen nicht erörtert sind, behandeln sollen.
Denkt man sich um den Punkt \(A(\alpha,\beta)\) einer reellen Ebene einen Kreis mit dem Radius \(\varrho\) beschrieben, dann zerfällt die Gleichung dieses Kreises für den Fall \(\varrho=0\) in die Gleichungen zweier Graden: \[ y-\beta=i(x-\alpha),\quad y-\beta=-i(x-\alpha). \] Diese Geraden werden die it isotropen Geraden (ersten und zweiten Systems) genannt, welche durch den Punkt \(A\) gehen. Construirt man für alle Punkte der Ebene die isotropen Geraden, so convergiren sämmtliche des ersten Systems gegen einen unendlich fernen Punkt der Ebene, und ebenso die isotropen Geraden des andern Systems gegen einen andern solchen Punkt. Diese Punkte heissen Nabelpunkte der Ebene.
Die beiden durch den Punkt \(A\) gehenden isotropen Geraden haben in ihrer Gesammtheit die Eigenschaften eines Kreises; wenn \(A\) ein reeller Punkt ist, ist \(A\) der einzige reelle Punkt dieses Kreises. Wenn aber dieser Punkt imaginär ist, denn existirt auf jeder der beiden durch \(A\) gehenden isotropen Geraden ein reeller Punkt (\(a\) und \(a'\)), und diese Punkte sind nur von der Lage des Punktes \(A\) abhängig, so dass also ihre Verbindungslinie \(aa'\) nur von der Lage des Punktes \(A\), aber nicht von dem gewählten Coordinatensysteme abhängig ist, so dass er zur Bestimmung eines imaginären Punktes gebraucht werden kann (darstellendes Segment, segment représentatif). Es lässt sich nun auch der dem Punkte \(A\) imaginär conjugirte \(A'\) bestimmen.
Zieht man in der Ebene durch einen beliebigen Punkt \(O\) eine unbegrenzte Gerade \(Ow\) (Coordinatenaxe genannt), dann kann man die Lage irgend eines Punktes \(A\) der Ebene durch die Strecken \(O\alpha=u\) und \(O\beta=w\) bestimmen, welche die durch \(A\) gehenden isopropen Geraden auf der Coordinatenaxe \(Ow\) abschneiden. \(u\) und \(w\) werden die isotropen Coordinaten des Punktes \(A\) genannt; mit ihrer Hülfe kann man den Abstand zweier imaginärer Punkte ausdrücken. So weit die erste Vorlesung.
Die zweite der vorliegenden Arbeiten enthält zunächst allgemeine Betrachtungen über die Darstellung von imaginären Punkten, die auf einer gegebenen Curve liegen. Die Arbeit nimmt ihren Ausgangspunkt von der Bestimmung eines beliebig in der Ebene gelegenen Punktes durch seine isotropen Coordinaten. Sie wendet sich dann zur Betrachtung eines Punktes, der auf einer gegebenen Curve liegt. Dazu wird untersucht, in welcher Weise die darstellenden Segmente der auf der Curve gelegenen Punkte in der Ebene vertheilt sind (Abel Transon: Application de l’algèbre directive à la géométrie. Nouv. Ann. (2) VII. 145-157. 193-208. 241-264. Fortschr. d. M. I. p. 149, JFM 01.0149.03.– Laguerre: Note sur l’emploi des imaginaires dans la géométrie de l’espace. Inst. 1. XXXVIII. 155-160). Die Untersuchung zeigt dann, dass man einen jeden Punkt einer Curve, er mag reell oder imaginär sein, durch einen reellen Punkt (point représentatif) darstellen kann, dieser ist auf der durch den Curvenpunkt gehenden isotropen Geraden des ersten Systems gelegen, und ist für einen reellen Curvenpunkt dieser selbst. Die Veränderung der Lage eines (reellen oder imaginären) Curvenpuntes wird somit durch die Curve dargestellt, welche der darstellende Punkt beschreibt.
Der letzte Theil der Arbeit ist der Darstellung der Punkte gewidmet, die auf einer gegebenen Geraden gelegen sind. Die Behandlung einiger Aufgaben schliesst sich an.

MSC:
51N10 Affine analytic geometry
51M99 Real and complex geometry
Full Text: EuDML