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Curvature laws for certain plane curve transformations. (Lois de la courbure dans certaines transformations des courbes planes.) (French) JFM 02.0472.02
Nouv. Ann. (2) VIII. 114-121. 1869 (1869).
Durchläuft der Punkt, welcher der unabhängig Veränderlichen \(z\) der Gleichung \(\varphi(u,z)=0\) entspricht, irgend eine Curve, dann durchläuft der Punkt, welcher der abhängig Veränderlichen \(u\) entspricht, soviel andere Curven, als der Grad der Gleichung \(\varphi(u,z)=0\) in Beziehung auf \(u\) Einheiten enthält. Eine jede dieser Curve kann als eine Transformation der ersten Curve aufgefasst werden. (Nouv. Ann. (2) VII. 145-157. 193-208. 241-264 s. Fortschr. d. M. I. p. 149-150, JFM 01.0149.03.) Gegenstand der oben genannten Arbeit ist nun die Ermittelung der Beziehungen, welche zwischen den Krümmungsradien der ursprünglichen Curve und denen ihrer Transformationen bestehen. Als Resultate ergeben sich folgende beiden Sätze:
Alle Geraden, welche durch denselben Punkt der Transformations-Ebene gehen, haben als Transformationen Curven, deren Krümmungsmittelpunkte für den entsprechenden Punkt in einer Geraden liegen.
Wenn mehrere Curven, welche durch denselben Punkt \(a\) der ursprünglichen Curve gehen, in diesem Punkte denselben Krümmungsradius \(\varrho\) haben, dann sind die entsprechen Krümmungsradien aller ihrer Transformatinen Leitstrahlen eines und desselben Kegelschnitts, der als Brennpunkt die Transformation des Punktes \(a\) hat. Die Gattung des Kegelschnitts ändert sich mit dem Werthe von \(\varrho\), aber seine Leitlinie ist fest, sie ist diejenige Linie, in welche der Kegelschnitt zusammenschrumpft, wenn \(\varrho\) unendlich wird.
Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen stereographischer Projection sphärischer Figuren und der Transformation ebener Figuren bilden den Schluss.

MSC:
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
51N20 Euclidean analytic geometry
Full Text: EuDML