×

zbMATH — the first resource for mathematics

On bicircular quartics. (English) JFM 02.0512.01
Trans. of Dublin. XXIV. 457-569. 1869 (1869).
Die Abhandlung anthält eine neue Methode, die Eigenschagten von Curven \(4^{ten}\) Grades herzuleiten, deren Kreispunkte im Unendlichen Doppelpunkte sind.
Nimmt man die allgemeinste Gleichung zweiten Grades in \(\alpha,\beta,\gamma,\) wo diese Variabeln statt Linien Kreise beziechnen, so lässt sich zeigen, dass eine bicirculate Curve vierten Grades auf vierfache Weise die Enveloppe eines variabeln Kreises ist, welcher einen gegebenen Kreis orthogonal schneidet und dessen Mittelpunkt sich auf einem Kegelschnitt bewegt.
Wenn die 4 Kegelschnitte, auf welchen sich der Mittelpunkt des veriabeln Kreises bewegt, mit \(F,F',F',F'''\) und die entsprechenden orthogonal geschnittenen Kreises mit \(J,J',J'',J'''\) bezeichnet werden, so wird bewiesen, dass die 4\(F\) confocal sind, indem die gemeinschaftlichen Brennpunkte Knoten-Brennpunkte der Curve \(4^{ten}\) Grades sind; dass die Mittelpunkte der 4\(J\) Umkehrcentren und die Schnittpunkte der \(J\) mit den entsprechenden \(F\) Einzelbrennpunkte der Curven \(4^{ten}\) Grades sind.
Plücker’s Charaktaristiken für die Curven \(4^{ten}\) Grades und ihre Evoluten werden gegeben und die geometrischen Lagen der Doppelpunkte, Doppeltangenten, Spitzen u. s. f. bestimmt.
Da die angewandte allgemeine Gleichung von derselben Form ist wie die eines Kegelschnittes, nur dass die Variabeln Kreises statt Linien bezeichnen, so haben die modernen Methoden der Invarianten, Covarianten, Reciprocität erc. der Kegelschnitte ihre Analoga bei den bicircularen Curven \(4^{ten}\) Grades. In der That werden im einen und andern Fall dieseslben Gleichungen und Beweisarten angewandt, so dass jeder graphischen Eigenthümlichkeit eines Kegelschnitts eine analoge bei den bicircularen Curven \(4^{ten}\) Grades entspricht. Z. B. dem Satze: “Wenn 4 Kegelschnitte doppelte Berührung mit einem gegeben Kegelschnitt \(U\) haben, der durch 3 gegebene Punkte gezogen werden kann, so werden alle durch 4 andere Kegelschnitte berührt, die ebenfalls doppelte Berührung mit \(U\) haben” entspricht für die bicircularen Curven \(4^{ten}\) Grades der Satz: “Haben 4 bicirculare Curven \(4^{ten}\) Grades vierfache Berührung mit einer gegebenen bicircularen Curve \(4^{ten}\) Grades, welche so beschrieben werden kann, dass sie doppelte Berührung mit 3 gegeben Kreisen hat, so haben alle doppelte Berührung mit 4 anderen bicircularen Curven \(4^{ten}\) Grades, die ebenfalls vierfache Berührung mit \(U\) haben”.