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On a system of lines analogous to geodesic lines. (Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques.) (French) JFM 02.0548.03

Enthält eine interessante Ausdehnung des von Gauss in den Disqu. Gen. C. superf. Curv. Gegebenen Satzes über die totale Krümmung einer von geodätischen Linien begrenzten Figur. Es sei das Bogenelement der betrachteten Fläche durch die Gleichung \[ ds^2=A^2du^2+C^2dv^2 \] gegeben, ferner seien \(\varrho\) der Radius der geodätischen Krümmung einer auf der Fläche liegenden Curve, \(i\) der Winkel der Tangente an die Curve mit den Curven \(u=\)constant, \(R\) und \(R'\) die Hauptkrümmungshalbmesser der Fläche, dann ist: \[ \frac{ds}{\varrho}=di+Mdu+Ndv, \quad \frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial u}=\frac{AC}{RR'}. \] Das über ein endliches Stück der Fläche erstreckte Doppelintegral \[ \iint\frac{ACdudv}{RR'}= \iint\left( \frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial u}\right) dudv \] geht bekanntlich über in \[ \int(Mdu+Ndv), \] erstreckt über die Begrenzung des Flächenstücks. Besteht diese nun aus Curven, welche der Differentialgleichung \[ di+Mdu+Ndv=d\varphi(u,v), \] genügen, so wird: \[ \iint \frac{ACdudv}{RR'}=-\int di -\int d\varphi (u,v), \] wo das letzte Integral im Allgemeinen verschwinden muss, weil die Begrenzung eine geschlossene ist.
Die Form dieser Gleichung ist also genau dieselbe, als wenn \( \varphi=0\) wäre. In diesem Falle besteht aber die Begrenzung aus geodätischen Linien, und die Gleichung liefert unmittelbar das am Eingang erwähnte Gauss’sche Theorem. Denkt man sich überhaupt das Integral \( \iint Hdudv\) auf die Form \[ \iint \left( \frac{\partial P}{\partial v}-\frac{\partial Q}{\partial u} \right) dudv=\int (Pdu+Qdv) \] gebracht und die Begrenzung des Integrationsgebietes aus Curven gebildet, welche der Differentialgleichung \[ Pdu+Qdv=d\varphi \left( u,v, \frac{du}{dv}, \frac{du^2}{dv^2}, ... \right) \] genügen, so wird sich im Allgemeinen das Integral durch Grössen ausdrücken lassen, welche sich nur auf die Ecken der Begrenzung beziehen.
Genau dasselbe Princip kann man auf ein dreifaches Integral \(\iiint Hdxdydz\) ausdehnen. Für jedes \(H\) existirt eine bestimmte Klasse von Flächen, die ein und derselben partiellen Differentialgleichung genügen. Ist dann das Integrationsgebiet ein aus diesen Flächen gebildetes Polyeder, so verwandelt sich das dreifache Integral in ein einfaches, welches sich über die Kanten des Polyeders erstreckt.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
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Full Text: DOI Numdam EuDML