Theory of the indexes of points, straight lines and planes with respect to a second order surface. (Théorie des indices des points, des droites et des plans par rapport à une surface du second ordre.) (French) JFM 02.0565.01

Neuberg, J.

Nouv. Ann/ (2) IX. 317. 1870 (1870).

Zieht man durch einen Punkt \(A\) eine Gerade, welche eine Oberfläche zweiter Ordnung in den Punkten \(M\) und \(M'\) trifft; desgleichen durch einen anderen Punkt \(B\) eine Gerade, deren Schnittpunkte mit der Oberfläche \(N\) und \(N'\) sind; so ist \(\frac{AM.AM'}{BN.BN'}\) eine constante Grösse, wenn beide Geraden parallel bleiben, welche Richtung sie sonst auch haben mögen. Auf diesen von Newton gegebenen Satz stützt sich die Definition der Indiees. Ist nämlich \(B\) ein für alle Mal fest angenommen, so hängt \[ \frac{AM.AM'}{BN.BN'} \] nur von der Lage des Punktes \(A\) ab. Zu dem festen Punkte \(B\) bestimmt man nun den Mittelpunkt \(O\) der Oberfläche zweiter Ordnung und nennt die Grösse \[ J_a=\frac{AM.AM'}{ON^2} \] den Index des Punktes \(A\). Der Index ist negativ oder positiv, je nachdem \(A\) und \(O\) demselben Gebiete der Oberfläche angehören oder nicht; für den Mittelpunkt gleich der negativen Einheit. Der Verfasser entwickelt nun den Ausdruck für den Index eines Punktes, wenn die Gleichung der Oberfläche in allgemeinen Cartesichen oder tetraedrischen Coordinaten gegeben ist, transformirt diesen Ausdruck, indem er die Gerade durch \(O\) gehen lässt, wodurch \(J_a=-\frac{AA'}{OA'}\) wird, wenn \(A'\) der Durchschnitt von \(OA\) mit der Polarebene der Punktes \(A\), und knüpgt hieran verschiedene Sätze. Hierauf wird der Index einer Geraden in Bezug auf eine Fläche zweiten Grades definirt als der Quotient aus den Quadrate der Halbsehne, die durch diese Gerade bestimmt ist, und der vierten Potenz des der Geraden parallelen Halbmessers. Ferner ist der Index einer Ebenn das Product ihrer Abstände von ihrem Pol un dem Mittelpunkt der Fläche.
Es werden nun viele Relationen unter diesen Indices entwickelt, welche dadurch von Wichtigkeit sind, dass gewisse Functionen (Covarianten und Contravarianten), denen man oft in der Rechnung begegnet, hierbei eine geometrische Bedeutung erlangen.

Reviewer: Maynz, Dr. (Ludwigslust)

MSC:

51N20

Euclidean analytic geometry

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. C. Raumgebilde ersten, zweiten und dritten Grades.

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