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On the deformation of surfaces. (Sur la déformation des surfaces.) (French) JFM 02.0630.01

Wenn ein der Gestalt nach unveränderlicher Körper vier Bedingungen unterworfen ist, beschreiben, wie Mannheim gezeigt hat, seine Punkte Oberflächen, deren Normalen sich alle in einem gegebenen Augenblicke auf zwei Gerade stützen. Schneiden sich diese Paare von Geraden immer, so bildet der Ort ihrer Schnittpunkte im Körper und im Raume 2 aufeinander abwickelbare Flächen. Herr Ribaucour hat diesen Satz zum Ausgangspunkt seiner Untersuchungen über Deformation gemacht, deren Ergebnisse ohne weiteren Beweis mitgetheilt sind. Von denselben seien fogende angeführt:
In jeder Tangenten-Ebene einer Fläche \((A)\) sei ein Punkt \(M\) gegeben, den man durch die (krummlinigen) Coordinaten \(u\) und \(v\) des Berührungspunktes \(A\) bestimmt denke; durch \(M\) sei eine Parellele zur Normale in \(A\) gezogen. Diese Parallelen sind Tangenten zweier Oberflächen \(B\) und \(C\), welche von den durch \(M\) gehenden Geraden in \(B\) und \(C\) berührt werden mögen. Denkt man die Oberfläche \((A)\) deformirt, während die Tangenten-Ebenen und die Punkte \(M\) mit ihr fest verbunden bleiben, so ist \(MB.MC\) constant. - Denkt man in jeder Tangenten-Ebene von \(A\) eine Curve verzeichnet und schneiden alle diese Curven irgend eine Flächenfamilie rechtwinklig, so behalten sie diese Eigenschaft, wenn \((A)\) deformirt wird. Sind die Curven Kreise, so gehört die rechtwinklig durchschnittene Flächenschaar einem dreifachen Systeme orthogonaler Flächen an, welche Herr Ribaucour cyklische Systeme nennt. Jeder Oberfläche \((A)\) erscheinen unzählig viele cyklische Systeme zugeordnet, deren Bestimmung von der Lösung einer nicht linearen partiellen Differential-Gleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung mit 2 unabhängigen Variablen angängt. Die Integration erscheint nur in wenigen Fällen möglich; Herr Ribaucour theilt aber mit, dass er ohne dieselbe verschiedene derartige Systeme entdeckt habe.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
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