×

Elements of a structural theory of sumsets. (Начала структурной теории сложения множеств. Einführung in die Strukturtheorie der Summenmengen.) (Russian) Zbl 0203.35305

Kazan’: Kazan. Gosudarstv. Ped. Inst; Elabuzh. Gosudarstv. Ped. Inst., Kazan 140 p. (1966).
Seit dem Erscheinen von H. H. Ostmanns Ergebnisbericht über “Additive Zahlentheorie” [Berlin etc.: Springer Verlag (1956; Zbl 0072.03101, Zbl 0072.03102)] ist das vorliegende Werk offenbar das erste über den damaligen Stand hinausgehende Lehrbuch über Summenmengen von Mengen natürlicher Zahlen, wenn auch bescheidener in der Themenstellung. Im Vordergrund stehen Probleme, die mit dem Übergang von einer endlichen Menge \(A\) zu der Summenmenge \(2A=A+A\) zusammenhängen. Dabei wird die Theorie der Summenmengen aufgefaßt als Theorie über solche Struktureigenschaften von Mengen, die gegenüber “Summen-Isomorphismen” invariant sind. (Zwei Mengen \(B\) und \(C\) mögen summen-isomorph heißen, wenn eine Bijektion von \(B\) auf \(C\) existiert, die zugleich eine Bijektion von \(B+B\) auf \(C+C\) induziert.)
Während das erste Kapitel eine Reihe von Sätzen darüber bringt, wie sich gewisse zahlentheoretische Eigenschaften von \(A\) in der Struktur von \(2A\) widerspiegeln, behandelt das zweite Kapitel das interessante, auf den Verfasser zurückgehende Umkehrproblem, nämlich die Frage, was sich bei gegebener Elementeanzahl der Menge \(2A\) über die Struktur der Menge \(A\) aussagen läßt. Hier werden eine Reihe von Ergebnissen angegeben, wonach die Menge \(A\) besondere Struktureigenschaften haben muß (z. B. arithmetische Progression oder Untermenge einer bestimmten arithmetischen Progression zu sein), wenn die Summenmenge \(2A\) relativ “wenige” Elemente hat.
Das dritte Kapitel behandelt Anwendungen auf verwandte zahlentheoretische Probleme, darunter auch die klassische Dichtetheorie unendlicher Mengen natürlicher Zahlen, der Restklassen und der Geometrie der Zahlen. Insbesondere wird eine Vermutung von Erdős in folgender, verallgemeinerter Form bewiesen: Wenn für eine unendliche Menge \(A=\{a_0,a_1,a_2,\dots\}\) natürlicher Zahlen der Grenzwert \(\lim_{k\to\infty} ggT (a_1-a_0,\dots,a_k-a_0)=d(A)\) existiert und \(\underline{\lim}\frac{A(x)}{x}=0\) sowie \(\overline{\lim}\frac{A(x)}{x}<\frac 1{2d(A)}\) gilt, dann erfüllt die Menge \(A_2=A+A\) die Bedingung \[ \overline{\lim_{x\to\infty}}\frac{A_2(x)}{A(x)}\geq 3. \]
Am Ende der Paragraphen sind häufig Übungsaufgaben angegeben, die dem Leser das Studium des Materials erleichtern.

MSC:

11B13 Additive bases, including sumsets
11B75 Other combinatorial number theory
11P70 Inverse problems of additive number theory, including sumsets
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory