Infinite abelian group theory. (English) Zbl 0204.35001

Griffith, P. A.

Chicago Lectures in Mathematics. Chicago-London: The University of Chicago Press. 152 p. (1970).

Auf Grund des Umfanges des vorliegenden Buches darf natürlich nicht erwartet werden, daß das weite Gebiet der unendlichen abelschen Gruppen hier erschöpfend behandelt wird. Das Buch entstand aus Vorlesungen, die Verf. 1969 an der Univer-sität von Chicago gehalten hat und setzt einen in mancher Hinsicht mathematisch bereits vorgebildeten Leser voraus. Die Absicht des Verf. ist es, den Leser in sehr komprimierter Form durch die Anfangsgründe der Theorie der abelschen Gruppen zu führen und auf schnellstem Wege zu der Darstellung des Ulmschen Theorems nach P. Hill zu gelangen [siehe dazu vor allem P. Hill [On the classification of abelian groups. Period. Math. Hung. 69, No. 1, 41–52 (2014; Zbl 1349.20042)]. Hierbei werden Techniken der homologischen Algebra verwendet, wie es z.B. in diesem Zusammenhang besonders durch R. J. Nunke geschieht und deren Kenntnis in gewissem Umfang vom Leser erwartet wird. Verf. verweist hier auch als Referenz auf S. MacLane [Homology. Berlin etc.: Springer-Verlag (1963; Zbl 0133.26502)] und H. Cartan und S. Eilenberg [Homological algebra. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1956; Zbl 0075.24305)]. Das Kapitel über torsionsfreie Gruppen und das über Erweiterungen von Gruppen widerspiegeln “the author’s own taste”, wie Verf. in seinem Vorwort bekennt.
Die einzelnen Kapitelüberschriften lauten: I. Reduction theorems. II. Purity, Basic subgroups and Finitely generated groups. III. Projectives, Injectives, Pure projectives and Pure injectives. IV. Structure of the tensor product and The group of extensions. V. Direct sums of countable \(p\)-groups and Hill’s version of Ulm’s theorem. VI. The totally projective groups and The functors \(p^\alpha\). VII. Torsion free groups. VIII. Extensions of groups and Mixed groups.
Das 138 Titel umfassende Literaturverzeichnis will nicht erschöpfend sein, enthält aber auch zahlreiche bibliographische Hinweise, die in diesem Buche nicht benötigt werden und auch nicht in der umfassenden Bibliographie in [I. Kaplansky, Infinite abelian groups. Rev. ed. Ann Arbor: The University of Michigan Press (1969; Zbl 0194.04402)] aufgeführt sind. In der Notation folgt Verf. weitgehend dem letztgenannten Buch und L. Fuchs, Abelian groups. Budapest: Publishing House of the Hungarian Academy of Sciences (1958; Zbl 0091.02704).

Reviewer: Klaus Latt (Berlin)

MSC:

20-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to group theory
20K99	Abelian groups

Keywords:

infinite abelian groups; Ulm’s theorem

Citations:

Zbl 1349.20042; Zbl 0133.26502; Zbl 0075.24305; Zbl 0194.04402; Zbl 0091.02704