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Über die Teilbarkeit durch \(2^3\) der Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper mit genau zwei verschiedenen Diskriminantenprimteilern. (German) Zbl 0207.36203
Es seien \(p\) und \(q\) Primzahlen, \(p \equiv 1,\ q \equiv -1\pmod{2^2}\). Aus einem Ergebnis von L. Rédei und H. Reichardt [J. Reine Angew. Math. 170, 69–74 (1933; Zbl 0007.39602)] folgt, daß die Klassenzahl \(h\) des quadratischen Körpers \(P(\sqrt{-pq})\) dann und nur dann durch \(4\) teilbar ist, wenn \((\tfrac{q}{p}) = 1\) gilt.
In der vorliegenden Arbeit wird dies unter Anwendung der Geschlechtertheorie der quadratischen Zahlkörper bewiesen. Darüber hinaus wird das folgende Kriterium bewiesen: \(h\equiv 0\pmod{2^3}\) genau dann, wenn \((\tfrac{v}{p}) = 1\), wo \(v >0\) irgendeiner Lösung in ganzrationalen teilerfremden Zahlen der Gleichung \(u^2 - 2^2pv^2 + pqw^2 = 0\) entnommen ist.
Diese beiden Kriterien und die früher von dem Verf. gegebenen analogen Kriterien für die Klassenzahlen der Körper \(K(\sqrt{-p})\) und \(K(\sqrt{-2p})\) [Aequationes Math. 3, 165–169 (1969; Zbl 0179.07704); J. Number Theory 1, 231–234 (1969; Zbl 0167.32302); s. auch das vorstehende Referat Zbl 0207.36202] werden noch in einem einheitlich formulierten Satz zusammengefaßt.

MSC:
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R11 Quadratic extensions
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Full Text: DOI Crelle EuDML