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Structure of arbitrary purely inseparable extension fields. (English) Zbl 0208.30402

Lecture Notes in Mathematics. 173. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. vi, 138 p. Soft cover (1970).
\[ L\supseteq K(L^p) \supeteq K(L^{p^2}) \supeteq \cdots, \quad K\subseteq K^{p^{-1}} \cap \subseteq K^{p^{-2}} \cap L \subseteq \cdots, \] zusammenhängen (vgl. hierzu G. F. Haddix und Verff. (loc. cit.) Weiter werden modulare Erweiterungen behandelt, das sind solche Erweiterungen \(L/K\), für die \(L^{p^i}}\) und \(K\) für \(i =1,2, \ldots\) linear disjunkt sind.
Im zweiten Kapitel wird der Verband der Zwischenkörper zwischen \(K\) und \(L\) untersucht. Ein Teil der Resultate findet sich bereits bei G. Pickert [loc. cit.]. Haupthilfsmittel für das Studium des Zwischenkörperverbandes sind die im ersten Kapitel betrachteten speziellen Erzeugendensysteme.
Das dritte Kapitel bringt zwei Anwendungen der allgemeinen Theorie. Zuerst wird die Existenz von Koeffizientenkörpern untersucht. Damit ist folgendes gemeint: Gegeben sei eine kommutative Algebra \(A\) mit Einselement über dem Körper \(K\) und ein maximales Ideal \(N\) von \(A\). Man sagt, daß \(A\) einen \(K\)-Koeffizientenkörper besitzt, wenn es einen Teilkörper \(F\) von \(A\) gibt, für den \(K\subseteq F\) und \(gF=gA\) gilt, wobei \(g\) den natürlichen Epimorphismus von \(A\) auf \(A/N\) bedeutet. Hierzu sei auf zwei Arbeiten der Verff. verwiesen [Proc. Am. Math. Soc. 20, 209–212 (1969; Zbl 0164.35002) und Math. Z. 107, 326–334 (1968; Zbl 0165.05405)].
Als zweite Anwendung wird gezeigt, daß einige der Ergebnisse von G. Pickert auch für Erweiterungen mit Exponenten aber nicht notwendig von endlichem Grade gelten.

MSC:

12F15 Inseparable field extensions
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory