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The Jacobi-Perron algorithm its theory and application. (English) Zbl 0213.05201
Lecture Notes in Mathematics. 207. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag iv, 160 p. (1971).
Eines der ältesten, aber (wegen seiner Schwierigkeit?) nicht so bekannten Probleme der algebraischen Zahlentheorie lautet: Es seien \(a_1,\ldots,a_n\) linear unabhängige Zahlen eines reellen Zahlkörpers vom Grade \(n+1\). Wird der Jacobische Algorithmus (in der von O. Perron angegebenen \(n\)-dimensionalen Form) periodisch? Der Fall \(n=1\) ist bekannt (Satz von Lagrange), doch kein weiterer Fall gelöst. Es ist das Verdienst des Verf. dieser Lecture Notes in zahlreichen Arbeiten dieses Problem unermüdlich bearbeitet zu haben und für Spezialfälle Periodizität nachgewiesen zu haben. Die Lecture Notes geben einen Umriß des gegenwärtigen Standes des Problems: der Stil ist informell und anregend, einige typische Sätze werden bewiesen, manches skizziert und manches der Geduld und dem Eifer des Lesers überlassen.
Das erste Kapitel bringt formale Entwicklungen, wobei eine allgemeine Klasse von Algorithmen – Jacobi-Perron-Algorithmen genannt – betrachtet wird. Das zweite Kapitel stellt den klassischen Konvergenzbeweis von Perron dar. Im dritten Kapitel wird die Periodizität gewisser \(n\)-tupel algebraischer Zahlen nachgewiesen. Diese Untersuchungen werden im vierten Kapitel fortgesetzt. Es ist eine merkwürdige Eigenart des Jacobischen Algorithmus, daß schon eine Umordnung der betrachteten \(n\) Zahlen das Periodizitätsverhalten entscheidend beeinflußt.
Das fünfte Kapitel ist einigen, vom Autor herrührenden Verallgemeinerungen des Jacobischen Algorithmus gewidmet. Es ist bemerkenswert, daß die gegebenen Periodizitätsbeweise explizit und konstruktiv sind. Vorperiode und Periode werden angegeben. Eine dem Lagrangeschen Beweis ähnliche \gglqq existenzielle“ Betrachtungsweise scheint bis dato nicht zielführend zu sein.
Im sechsten Kapitel wird gezeigt, wie mit Hilfe des Jacobischen Algorithmus Einheiten berechnet werden können. Die Frage, in welchen Fällen diese Einheiten Grundeinheiten sind, ist schwierig und fast ungelöst. Für kubische Zahlkörper hat H. J. Stender einige Fortschritte erzielt.
Das letzte Kapitel ist diophantischen Gleichungen gewidmet.
Es ist zu hoffen, daß das Buch einen weiten Leserkreis findet und die zahlreichen ungelösten Fragen Anreiz zu Forschungen bieten.

MSC:
11A55 Continued fractions
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R11 Quadratic extensions
11R27 Units and factorization
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