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Algebraic cycles and poles of zeta functions. (English) Zbl 0213.22804
Arithmetical algebraic Geom., Proc. Conf. Purdue Univ. 1963, 93-110 (1965).
Dieser Artikel erschien in dem im Zbl 0213.00103 angezeigten Sammelwerk.]
Aus der Einleitung des Verf.: “The \(\ell\)-adic étale cohomology of algebraic varieties is much richer than the classical cohomology, in that Galois groups operate on it. This opens up a new field of inquiry, even in the classical case. Although theorems seem scarce, the soil is fertile for conjectures\(\ldots\). The main idea is, roughly speaking, that a cohomology class which is fixed under the Galois group should be algebraic when the ground field is finitely generated over the prime field.”
In den ersten beiden Paragraphen (§1. The \(\ell\)-adic cohomology; §2. Cohomology classes of algebraic cycles) wird diese Idee näher ausgeführt. Sei \(k\) ein Körper, \(\bar k\) eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung von \(k\), \(G(\bar k,k)\) die Automorphismengruppe von \(\bar k,k\). Sei \(V\) ein geometrisch irreduzibles und glattes projektives Schema über \(k\), sei \(\bar V=V\times\bar k\). Auf den \(\ell\)-adischen Kohomologiegruppen \(H_{\ell}^i(\bar V)\) operiert \(G(\bar k,k)\); um die ,,richtigen \(\ell\)-adischen Orientierungen” zu erhalten, werden ,,tordierte” Kohomologiegruppen \(H_{\ell}^i(\bar V)(m)\) eingeführt. Einem irreduziblen Unterschema \(X\) von \(\bar V\) der Kodimension \(i\) wird eine Kohomologieklasse \(c(X)\in H_{\ell}^{2i}(\bar V)(i)\) zugeordnet. \(X\) ist ,,definiert” über einer endlichen Erweiterung von \(k\) und wird daher durch eine offene Untergruppe \(U\) von \(G(\bar k,k)\) festgelassen. Dann wird auch \(c(X)\) durch \(U\) festgelassen. Die erste Vermutung des Verf. besteht darin, daß die Umkehrung dieser Tatsache richtig ist (falls \(k\) über dem Primkörper endlich erzeugt wird). Aus dieser Vermutung ergibt sich u.a. fur Abelsche Mannigfaltigkeiten eine Konsequenz (Formel (8)), die inzwischen vom Verf. selbst bewiesen wurde (falls \(k\) endlicher Körper ist; s. die Arbeit in Invent. Math. 2, 134–144 (1966; Zbl 0147.20303). Gegenwärtig gibt es auch weitere Information über die in §1 betrachteten(von Serre eingeführten) Lieschen Algebren. Siehe J.-P. Serre [Abelian \(\ell\)-adic representations and elliptic curves. New York etc.: Benjamin (1968; Zbl 0186.25701)].
In §3 diskutiert Verf. den Zusammenhang seiner Vermutungen mit den Zetafunktionen von Varietäten über endlichen Körpern. Im Mittelpunkt steht die Vermutung, daß die Ordnung des Pols der Zetafunktion \(\zeta(V,s)\) an der Stelle \(s=i\) gleich dem Rang der durch die algebraischen Zyklen der Kodimension \(i\) erzeugten Gruppe ist (Formel (12)).
In §4 wird nur vorausgesetzt, daß \(k\) über seinem Primkorper endlich erzeugt ist. Verf. kombiniert seine Vermutungen mit den bekannten Hypothesen von Birch und Swinnerton-Dyer uber die Zetafunktion von \(V/k\). Ein angekündigtes Ergebnis von H. Pohlmann ist inzwischen publiziert [Ann. Math. (2) 88, 161–180 (1968; Zbl 0201.23201)].
Weitere ergänzende bibliographische Angaben:
A. Grothendieck [“Standard conjectures on algebraic cycles.” Algebr. Geom., Bombay Colloq. 1968, 193–199 (1969; Zbl 0201.23301)];
P. Swinnerton-Dyer [“The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate.” Proc. Conf. local Fields, NUFFIC Summer School Driebergen 1966, 132–157 (1967; Zbl 0197.47101)];
the author [“On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog.” Sém. Bourbaki 1965/66, Exp. No. 306, 415–440 (1966; Zbl 0199.55604)];
J.-P. Serre [Sém. Delange-Pisot-Poitou 11 (1969/70), Exp. No. 19 (1970; Zbl 0214.48403)].
Reviewer: Olaf Neumann

MSC:
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14F20 Étale and other Grothendieck topologies and (co)homologies
14C25 Algebraic cycles