Topics in multiplicative number theory. (English) Zbl 0216.03501

Montgomery, Hugh L.

Lecture Notes in Mathematics. 227. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag viii, 178 p. (1971).

Die vorliegenden Lecture Notes zur multiplikativen Zahlentheorie können als eine umfangreiche Fortsetzung des Buches von H. Davenport „Multiplicative Number Theory“ (1969; Zbl 0159.063) aufgefaßt werden. Das Buch behandelt verschiedene Fassungen des „Großen Siebes“ und eine Reihe interessanter Anwendungen, so etwa Mittelwertsätze für Dirichlet-Reihen, die Nullstellenverteilung der \(L\)-Funktionen, den Primzahlsatz von Hoheisel-Ingham, den Primzahlsatz von Bombieri-Vinogradov und die Abschätzung gewisser Exponentialsummen mit Primzahlen. Das Buch gibt den aktuellen Stand der Theorie wieder; es wurden teilweise Arbeiten [etwa von Bombieri, Gallagher, Halász, Huxley, Selberg, Turán und Vaughan] verwertet, die bei Drucklegung des Buches noch nicht veröffentlicht waren; ein Teil des Buches beruht auf Ergebnissen des Verf.
Montgomerys Buch dürfte sich für Forscher auf dem Gebiete der analytischen Zahlentheorie als unumgängliche Hilfe erweisen, schon alleine wegen des umfangreichen Literaturverzeichnisses. Es eignet sich aber genau so gut als Grundlage für eine höhere Vorlesung oder ein Seminar. Im folgenden wird ein etwas mehr ins Einzelne gehender Bericht über den Inhalt der 17 Kapitel der vorliegenden Lecture Notes gegeben.
Zunächst (Kap. 1–5) werden allgemeine Ungleichungen gegeben, die für den Beweis verschiedener Abschätzungen Verwendung finden. Verschiedene (obere) Abschätzungen für Summen der Gestalt \[ \sum_r \left\vert \sum_{M+1}^{M+N} a_n \exp(2\pi inx_r)\right\vert^2\text{ und } \sum_{q\le Q} q\cdot \varphi^{-1}(q) {\sum_\chi}^* \left\vert \sum_{M+1}^{M+N} a_n\chi(n)\right\vert^2 \] („Großes Sieb“) werden hergeleitet, und arithmetische Fassungen dieser Ungleichungen werden gegeben (unter anderem auch eine Abschätzung nach Art der oberen Abschätzungen des Selberg-Siebes). Eine Einführung von Gewichten führt als Anwendung zu der Abschätzung \[ \pi(M+ N; q,a) - \pi(M;q,a) \le 2N \cdot \left(\varphi(q) \log \frac{N}{q}\right)^{-1}. \] Schließlich wird – in der anderen Richtung – ein Ergebnis von K. F. Roth bewiesen: eine Folge ganzer Zahlen aus \([1,N]\) kann nicht in allen Progressionen \(h \bmod q\), \(q\le N^{1/2}\), „gut“ verteilt sein.
Die nächsten Kapitel (6–10) behandeln klassische und neue Mittelwertsätze für Exponentialpolynome, d.h. Abschätzungen für Ausdrücke der Gestalt \[ (\Sigma_q) = {\sum_{\chi\bmod q}}^* \int_{T_0}^{T_0+ T}\left\vert \sum_{n\le N} a_n \chi(n)\cdot n^{-it}\right\vert^2 \,dt \] bzw. der Gestalt \(\sum_{q\le Q}(\Sigma_q)\) sowie für das vierte Moment \[ {\sum_\chi}^* \int_{-T}^{+T} \vert L(\tfrac12 + it, \chi)\vert^4 \,dt. \] Die folgenden Abschnitte (11–12) sind der Nullstellenverteilung der Zetafunktion und der \(L\)-Funktionen gewidmet. Es werden Abschätzungen für \(\displaystyle\sum_{q\le Q} {\sum_{\chi_q}}^* N(\alpha, T, \chi_q)\) gegeben; für jede Nullstelle \(\beta + i\gamma\) der Zetafunktion gilt (mit \(\tau = \vert\gamma\vert + 2)\) \[ \beta \le 1 - c\cdot(\log \tau)^{-\frac23}\cdot (\log\log \tau)^{-\frac13}. \]
Die letzen Kapitel (13–17) befassen sich mit der Verteilung der Primzahlen. Der Primzahlsatz von Hoheisel-Ingham und ein damit zusammenhängender Primzahlsatz von Selberg werden bewiesen. Der Primzahlsatz von Bombieri und A. I. Vinogradov wird in der Gestalt \[ \sum_{q\le Q} \max_{y\le x} \max_{\substack{a \\ (a,q)=1}} \left\vert \psi(x; q, a)- \frac1{\varphi(q)}x\right\vert \ll x^{\frac12} \cdot Q \cdot (\log x)^{13} \] für \(x^{\frac12}(\log x)^{-C}\le Q\le x^{\frac12}\) \((C\) beliebig) hergeleitet. Aus Sätzen über die Nullstellenverteilung der \(L\)-Funktionen (Kapitel 12) wird I. M. Vinogradovs Abschätzung für die Exponentialsumme \(\displaystyle\sum_{n\le N} \Lambda(n)\cdot\exp(2\pi i\alpha n)\) (wobei er nicht „nahe“ bei rationalen Zahlen mit „kleinem“ Nenner liegt) gewonnen, die 1937 die Lösung des ternären GoIdbachproblems ermöglichte.
Im letzten Abschnitt wird schließlich \[ \sum_{q\le Q} \sum_{\substack{1\le a\le q \\ (a,q)=1}} \left(\psi(x;q,a) - \frac{x}{\varphi(q)}\right)^2 \] asymptotisch ausgewertet.

Reviewer: Wolfgang Schwarz (Frankfurt am Main)

MSC:

11-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11L07	Estimates on exponential sums
11L15	Weyl sums
11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11N05	Distribution of primes
11N25	Distribution of integers with specified multiplicative constraints
11N35	Sieves
11N36	Applications of sieve methods

Keywords:

large sieve; weighted sieve; lower bound of Roth; mean value theorems; Dirichlet series; distribution of zeros; Riemann zeta-function; L-functions; Hoheisel-Ingham prime number theorem; Bombieri-Vinogradov prime number theorem; estimates of exponential sums with primes; large moduli theorems

Citations:

Zbl 0159.063