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Definition of parameters of uniform distribution. (Définition de paramètres d’équirépartition.) (French) Zbl 0217.04002

Théorie des Nombres, Sémin. Delange-Pisot-Poitou 7 (1965/66), Exp. No. 10, 13 p. (1967).
Sei \(a\) irrational, \(M\) eine Teilmenge des eindimensionalen Torusraumes \(T= \mathbb R/\mathbb Z\) vom Maß \(m\) und sei \(M(a,N)\) die Anzahl der Elemente der Folge \(\{a_n\}\), \(0\le n<N\), die aus \(M\) sind. Bekanntlich ist die Folge \(\{a_n\}\), \(n=1,2,\ldots\) auf \(T\) gleichverteilt, d.h. es ist \[S(a,N)=\sup_M \vert M(a,N)- mN\vert = o(N).\] Ziel des Autors ist es, genauere Aussagen über die Größenordnung von \(S(a,N)\) zu machen. Man kann z.B. \(S(a,N)\) klassifizieren nach \(w(a) = \inf \{s\mid S(a,N) = o(N^s)\}\).
Um eine noch feinere Klassifizierung zu erreichen, werden gewisse konkave Funktionen eingeführt und deren Eigenschaften untersucht. Zusammenhänge zwischen Gleichverteilung und Kettenbrüchen werden untersucht. Außerdem wird die Weylsche Methode variiert, indem statt der sonst üblichen stetigen Funktionen solche von beschränkter Variation herangezogen werden. Ein Zusammenhang mit folgendem Problemkreis aus der Geometrie der Zahlen wird gezeigt:
Im \(\mathbb R^2\) umschließe eine rektifizierbare Kurve \(C\) einen Flächeninhalt \(A\). Welter sei \(C(c,z)\) die Anzahl der Gitterpunkte mit ganzzahligen Koordinaten, die innerhalb der durch Homothetie mit Zentrum \(c\) und Dilatationsfaktor \(z\) aus \(C\) erhaltenen Kurve liegen.
Frage: Wie ist die Größenordnung von \(F_C(z) =\sup_c \vert C(c,z) -Az^2\vert\) ?
Klassische Ergebnisse on Sierpinski, Jarnik und van der Corput, die an das Gaußsche Kreisproblem anschließen, liefern \(1/2\le w(F_C)\le 2/3\), wenn die Krümmung von \(C\) zwischen zwei positiven Zahlen liegt.
Der Autor untersucht Polygone im \(\mathbb R^2\) und erhält, daß \(w(F_C)\) dann jeden Wert aus \([0,1]\) annehmen kann.
For the entire collection see [Zbl 0189.33404].

MSC:

11K31 Special sequences
11P21 Lattice points in specified regions
11J70 Continued fractions and generalizations
11K36 Well-distributed sequences and other variations

Citations:

Zbl 0189.33404
Full Text: Numdam EuDML