Minimal submanifolds of a higher dimensional sphere. (English) Zbl 0218.53073

Yano, Kentaro; Chen, Bang-Yen

Tensor, New Ser. 22, 369-373 (1971).

Es sei \(x: M_n\to R^{n+m}\) eine isometrische Immersion einer \(n\)-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit in den euklidischen Raum \(R^{n+m}\) \((n\ge 2,\ m\ge 1)\); \(\text{I}\) sei die metrische Fundamentalform. Es sei \(H\) der mittlere Krümmungsnormalenvektor und es sei \(\text{II}(H)\) die durch \(H\) induzierte zweite Fundamentalform. \(x(M_n)\) heißt pseudo-nabelsch, wenn \(\text{II}(H) = \lambda\cdot \text{I}\), \(\lambda: M\to R\). Ist \(\nabla^*\) die kovariante Differentiation im Normalenbündel, so heißt \(H\) parallel, falls \(\nabla^*H= 0\).
Die Verff. beweisen den folgenden Satz, der unabhangig auch von P. Franzke [Diplomarbeit FB 3, TU Berlin 1971] und D. Hoffman bewiesen worden ist:
\(x(M_n)\) ist minimale Untermannigfaltigkeit einer Hypersphäre \(S^{n+m-1} \subset R^{n+m}\) genau dann, wenn \(x(M_n)\) pseudo-nabelsch mit parallelem mittlerem Krümmungsnormalenvektor ist.
Die Verff. beweisen auf pseudo-nabelschen Untermannigfaltigkeiten für die Skalarkrümmung \(S\) und \(H^2\) die Ungleichung \(S \le n(n-1)H^2\).
(Bemerkung des Ref.: Diese Ungleichung gilt auch ohne die Voraussetzung, daß \(x(M_n)\) pseudo-nabelsch ist [vgl. den Ref., Manuscr. Math. 2, 241–284 (1970; Zbl 0188.54101), S. 258 (3.28)]. Auch die von den Verff. angegebene Ungleichung (13) gilt für jede Immersion.)
Weiterhin wird mit einer Integralformel eine globale Kennzeichnung minimaler Untermannigfaltigkeiten in Sphären angegeben.

Reviewer: Udo Simon (Berlin)

MSC:

53C40	Global submanifolds
53C42	Differential geometry of immersions (minimal, prescribed curvature, tight, etc.)

Citations:

Zbl 0188.54101