A course in arithmetic. (Cours d’arithmétique.) (French) Zbl 0225.12002

Serre, Jean-Pierre

Le mathématicien. 2. Paris: Presses Universitaires de France. 188 p. (1970).

Dieses ausgezeichnete Taschenbuch entstand auf der Grundlage zweier Vorlesungen, die Verf. 1962 und 1964 an der École Normale Supérieure hielt. Es gliedert sich entsprechend in zwei Teile: Teil I, Algebraische Methoden, Teil II, Analytische Methoden. Vorausgesetzt werden Grundlagen der Algebra (etwa Bourbaki, Algèbre, die ersten drei Kapitel), ferner Grundlegendes aus der Topologie und der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.
Zum Inhalt: Verf. behandelt im Tell I die endlichen Körper (einschließlich zweier Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes), die rationalen \(p\)-adischen Körper \(\mathbb Q_p\), (Henselsches Lemma, multiplikative Gruppe), das Hilbertsche Symbol (Normenrestsymbol, Darstellung mit Hilfe des Legendre-Symbols, nichtausgeartete Bilinearform, Produktformel, Existenz rationaler Zahlen mit vorgegebenen Hilbertsymbolen). Teil I gipfelt in der arithmetischen Theorie der quadratischen Formen über \(\mathbb Q_p\) und \(\mathbb Q\). Hauptaspekte sind die Darstellung der Null und die Klassifikation. Die Theorie über \(\mathbb Q\) stellt sich dabei in abgerundeter Form als lokal-global-Prinzip dar (Satz von Hasse-Minkowski). Schließlich wird letztere Theorie auf die Untersuchung der ganzzahligen quadratischen Formen mit Diskriminante \(\pm 1\) angewandt; Hauptgesichtspunkte sind hierbei die Struktur der Gruppe der Isomorphiekiassen und die Endlichkeit der Klassenzahl.
Im Teil II wird zunächst ein analytischer auf der Theorie der \(L\)-Reihen basierender Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in einer primen Restklasse modulo \(n\) gegeben. Schließlich bringt Verf. eine Theorie der Modulformen (Modulgruppe, Modulfunktionen, Algebra der Modulformen, Reihenentwicklungen, Heckesche Operatoren und ihre Eigenfunktionen, Thetareihen). Kulminationspunkt ist die Theorie der Thetareihen, die in engem Zusammenhang zur Theorie der ganzzahligen quadratischen Formen mit der Diskriminante \(\pm 1\) steht.
Am Ende gibt Verf. eine Liste von ca. 45 Literaturverweisen, in erster Linie Bücher, aber auch wichtige Einzelarbeiten von Gauß bis heute, die sich auf die behandelten Themen beziehen und zum Teil weit darüber hinausgehen. Das Buch schließt mit einem Index der Begriffe und Symbole.
Das Büchlein besticht durch seinen knappen klaren Stil und seinen Inhaltsreichtum. Erwähnenswert sind die zahlreichen Beispiele und die vielen Bemerkungen, die auf offene Probleme hinweisen und Beziehungen herstellen, zum Teil sogar zu anderen Bereichen der Mathematik. Eingeflochtene Literaturverweise, die bis ins Jahr 1969 reichen, ermöglichen es dem Leser, die aufgeworfenen Fragen weiterzuverfolgen. Auf Grund seiner Klarheit, Originalität und der vielen vermittelten Anregungen kann dieses Buch ohne Vorbehalt dem Studenten, dem Lehrer sowie dem Forscher empfohlen werden.

Reviewer: Gottfried Bruckner (Berlin)

MSC:

11-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11E04	Quadratic forms over general fields
11E08	Quadratic forms over local rings and fields
11E25	Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
11E39	Bilinear and Hermitian forms
11E45	Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
11F11	Holomorphic modular forms of integral weight
11F27	Theta series; Weil representation; theta correspondences
11N13	Primes in congruence classes
11Rxx	Algebraic number theory: global fields
11Sxx	Algebraic number theory: local fields

Keywords:

finite fields; quadratic reciprocity law; rational p-adic fields; Hensel lemma; multiplicative group; Hilbert symbol; norm residue symbol; Legendre symbol; nondegenerate bilinear form; arithmetic theory of forms over local and global fields; local-global principle; Hasse-Minkowski theorem; integral quadratic forms with discriminant plus/minus 1; finite class number; group of isometry classes; proof of infinity of the number of primes in prime residue classes; modular forms; Hecke operators; theta series