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Works of Shimura. (Travaux de Shimura.) (French) Zbl 0225.14007
Sém. Bourbaki 1970/71, Lect. Notes Math. 244, 123-165 (1971).
Soit \(X/\Gamma\) le quotient d’un domaine hermitien symétrique \(X\) par un groupe discret arithmétique \(\Gamma\), défini par des conditions de congruence. G. Shimura a montré que beaucoup de ces variétés peuvent être définies sur des corps de nombres explicites. Dans cet exposé, nous systématisons ses résultats. Soit \(S\) le groupe algébrique réel \(\mathbb C^*\). Dans chaque cas, on part d’un groupe \(G\) réductif sur \(\mathbb Q\) et d’une classe de \(G(\mathbb R)\)-conjugaison \(X\) de morphismes \(S^h\to G_{\mathbb R}\), vérifiant des conditions qui impliquent que \(X\) soit hermitien symétrique. Soit le système projectif des variétés algébriques complexes \(K\backslash X\times G(\mathbb A^f)/G(\mathbb Q)\) \((K\) ouvert dans \(G(\mathbb A^f)\), \(\mathbb A^f = \hat{\mathbb Z}\otimes \mathbb Q)\), et sa limite projective \(M_{\mathbb C}\), sur laquelle agit le groupe \(G(\mathbb A^f)\). On conjecture que \(M_{\mathbb C}\), muni de cette action, admet toujours un “modèle canonique”, i.e. que: il peut toujours être défini sur un corps de nombre \(E\), décrit à l’aide de \(h\); que \(\mathrm{Gal}(\overline E/E)\) agit sur \(\pi_0 M_{\mathbb C}\) via son plus grand quotient abélien, selon une loi déduite de \(h\); et que Galois agit de façon prescrite sur certains points qui, dans le cas du demi-espace de Siegel, correspondent aux variétés abéliennes de type CM. On prouve que, lorsqu’ils existent, les modèles canoniques sont uniques et fonctoriels en \((G,X)\). On donne aussi des critères d’existence, qui couvrent tous les cas considérés par Shimura (et par K. Miyake). L’ un d’eux est que si \((H,X_H)\hookrightarrow (G,X_G)\); et que \((G,X_G)\) admet un modèle canonique, alors \((H,X_H)\) en admet un aussi.
Cet article a paru dans le livre annoncé dans ce [Zbl. 224.00002].
Reviewer: Pierre Deligne

MSC:
14G35 Modular and Shimura varieties
14K22 Complex multiplication and abelian varieties
Full Text: DOI Numdam EuDML