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On badly approximable numbers and certain games. (English) Zbl 0232.10029

Eine Zahl \(\al0pha\) heißt schlecht approximierbar, wenn es ein \(c>0\) gibt mit \(q \Vert q\alpha\Vert >c\) für alle natürlichen Zahlen \(q\). Bekanntlich ist eine Irrationalzahl genau dann schlecht approximierbar, wenn ihre Nenner in der Kettenbruchentwicklung beschränkt sind. In einer vorangehenden Arbeit [Mathematika12, 10–20 (1965; Zbl 0163.04802)] hat der Verf. in einigen schwierigen und kompliziert formulierbaren Sätzen Aussagen über schlecht approximierbare Zahlen (z.B. deren Mächtigkeit) gemacht, während er in dieser Arbeit im Zusammenhang damit die Gewinnchancen bei folgendem Spiel zwischen 2 Partnern Schwarz \(S\) und Weiß \(W\) untersucht:
Sei \(\alpha\in (0,1)\), \(\beta\in (0,1)\) gegeben und \(S\) wähle ein Intervall \(S_1\) der Länge \(s_1\). Dann wähle \(W\) ein Intervall \(W_1\subset S_1\) der Länge \(w_1= \alpha s_1\). Dann wähle \(S\) ein Intervall \(S_2\subset W_1\) der Länge \(s_2 =\beta w_1 = \alpha\beta s_1\) und \(W\) ein Intervall \(W_2\subset S_2\) mit \(w_2 = \alpha s_2= \alpha^2\beta s_1\= usw. Ist \(\cap W_i\) schlecht approximierbar, so sei \(W\) der Gewinner, andernfalls \(S\). Wer gewinnt? Da die schlecht approximierbaren Zahlen das Lebesgue-Maß Null haben, könnte man denken, daß \(S\) immer gewinnt. Weit gefehlt! Der Verf. zeigt, daß \(W\) immer gewinnt. In seiner umfangreichen Arbeit bringt der Verf. außerdem über wesentlich allgemeinere Gewinnmengen des obigen Typs, über deren Durchschnitte, Vereinigungen usw. insgesamt 7 Sätze und 23 Lemmata.

MSC:

11J83 Metric theory
91A05 2-person games

Citations:

Zbl 0163.04802
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References:

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