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On some problems of a statistical group-theory. IV. (English) Zbl 0235.20004

Sei \(P\) ein Element der symmetrischen Gruppe \(S_n\) und \(O(P)\) dessen Ordnung. Nach E. Landau [Handbuch von der Lehre der Verteilung der Primzahlen I (Leipzig und Berlin: B. G. Teubner 1909; Fortschr. d. Math. 40, 432)] ist \[ \lim_{n \to \infty} (n \log n)^{-1/2} \cdot \max_{P \in S_n} (\log O(P)) =1. \] In den Teilen I und III der Arbeit [Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 4, 175-186 (1965; Zbl 0137.25602); Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18, 309-320 (1967; Zbl 0235.20003)] zeigten die Verff., daß \(\log O(P)\) für “fast alle” \(P \in S_n\) von der Größenordnung \((1/2) \log ^2n\) ist und eine Gaußsche Verteilung besitzt. In der vorliegenden Arbeit zeigen die Verff., daß die Anzahl \(W(n)\) der verschiedenen Werte für \(O(P)\) \((P \in S_n)\) gleich \[ \exp \left\{{2 \pi \over \sqrt 6} \cdot \sqrt{{n \over \log n}} \cdot \left(1+0 \left({\log \log n \over \sqrt {\log n}} \right)\right)\right\} \] ist und daß bis auf \(o(W(n))\) Ausnahmen die verschiedenen \(O(P)\)-Werte die Gestalt \[ \exp \{(1+o(1)) \cdot {\sqrt 6 \cdot \log 2 \over \pi} \cdot \sqrt{n \log n} \} \] haben. Weitere Ergebnisse beschäftigen sich mit der Anzahl der mit einem festen \(P \in S_n\) vertauschbaren Elemente aus \(S_n\). Schließlich wird gezeigt, daß “fast alle” abelschen Gruppen der Ordnung \(\leq n\) in die symmetrischen Gruppen \(S_l\) eingebettet werden können, wobei \(l=[n/\psi(n)]\) ist und \(\psi\) eine monoton gegen \(\infty\) strebende Funktion bezeichnet, die \(\log \psi(x)= o(\log x)\) erfüllt.
Reviewer: W.Schwarz

MSC:

20B40 Computational methods (permutation groups) (MSC2010)
00A07 Problem books
Full Text: DOI

Online Encyclopedia of Integer Sequences:

Decimal expansion of the Goh-Schmutz constant.

References:

[1] P. Erdos andP. Turán, On some problems of a statistical group theory, I,Zeitschr. für Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete,4 (1965), pp. 175–186. · Zbl 0137.25602 · doi:10.1007/BF00536750
[2] P. Erdos andP. Turán, On some problems of a statistical group theory. III,Acta Math. Acad. Sci. Hung.,18 (1967), pp. 309–320. · Zbl 0235.20003 · doi:10.1007/BF02280290
[3] E. Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,I. (1909), p. 222. · JFM 40.0232.08
[4] E. Erdos andJ. Lehner, The distribution of the number of summands in the partitions of a positive integer,Duke Math. Journ.,8 (2) (1941), pp. 335–345. · Zbl 0025.10703 · doi:10.1215/S0012-7094-41-00826-8
[5] G. H. Hardy andS. Ramanujan, Asymptotic formulae for the distribution of integers of various types,Proc. of Lond. Math. Soc. (2)16 (1917), pp. 117–132.
[6] A. E. Ingham, A Tauberian theorem for partitions,Annals of Math.,42 (1941), pp. 1075–1090. · Zbl 0063.02973 · doi:10.2307/1970462
[7] K. F. Roth andG. Szekeres, Some asymptotic formulae in the theory of partitionsThe Quart. Journ. of Math., Oxford Second Series,5 (1954), pp. 241–259. · Zbl 0057.03902 · doi:10.1093/qmath/5.1.241
[8] J. Riordan,An introduction to combinatorial analysis (New York, 1958). · Zbl 0078.00805
[9] P. Erdos andG. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung,Acta Litt. ac. Scient. Szeged,7 (1934), pp. 95–102. · JFM 60.0893.02
[10] The series \(\sum {\frac{1}{{\alpha _v }}}\) is ussually called Engel-series of second kind; for its properties and for a proof of (I. 2)–(I. 3) see e. g.P. Erdos, On the integer solutions of the equation \(\frac{1}{{x_1 }} + ... + \frac{1}{{x_n }} = \frac{a}{b}\) (in Hungarian),Matematikai Lapok,I.3 (1950), pp. 192–210.
[11] E. Landau,Math. Annalen,56 (1903), pp. 674–678.
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