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Topics in analytic number theory. (English) Zbl 0253.10002

Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 169. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. ix, 320 p. Cloth DM 88.00; $ 32.60 (1973).
An dem vorliegenden Lehrbuch über ausgewählte Gebiete der Analytischen Zahlentheorie hat der Verf. von 1944 bis zu seinem Tode im Jahre 1969 gearbeitet. Seine Schüler E. Grosswald, J. Lehner und M. Newman haben es mit Literaturangaben und einigen Anmerkungen ergänzt. Die Auswahl des Stoffes und dessen vorbildlich klare Darstellung werden jeden zahlentheoretisch-Interessierten begeistern.
Der Inhalt des Lehrbuchs ist in folgender Weise gegliedert:
I. Analytic tools (Bernoulli polynomials and Bernoulli numbers; The Euler-MacLaurin sum formula; The \(Gamma\)-function and Mellin’s theorem; The Phragmen-Lindelöf theorem; The Poisson sum formula and applications).
II. Special functions (The Riemann \(\zeta\)-function; About the prime-number theorem and the zeros of the \(\zeta\)-function; The Eisenstein series; The transformation of \(\log \eta(\tau)\) and the theory of Dedekind sums; The \(\theta\)-functions; Elliptic functions and their applications to number theory).
III. Formal power series (Formal power series and the theory of partitions; Ramanujan’s congruences and identities).
IV. The circle method (Analytic theory of partitions; Application of the circle method to modular forms of positive dimension).

MSC:

11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M35 Hurwitz and Lerch zeta functions
11N05 Distribution of primes
11F11 Holomorphic modular forms of integral weight
11F20 Dedekind eta function, Dedekind sums
11P55 Applications of the Hardy-Littlewood method
11P81 Elementary theory of partitions
11P82 Analytic theory of partitions
11P83 Partitions; congruences and congruential restrictions
11P84 Partition identities; identities of Rogers-Ramanujan type