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L’arithmétique des corps. (French) Zbl 0253.12101

Collection méthodes. Paris: Hermann. 245 p., broche F 42.00 (1972).
Das vorliegende Werk ist aus einer an der Faculté des Sciences de Paris in den Jahren 1969/70 gehaltenen Vorlesung des Autors hervorgegangen, und es verleugnet diese Herkunft nicht. Zunächst ist es kein Lehrbuch, jedenfalls nicht für Anfänger der Materie, setzt es doch fundamentale Techniken und Resultate als bekannt voraus, besonders in dem skizzenhaften ersten Kapitel über klassische Galois-Theorie; beispielsweise den Euklidischen Algorithmus und seine Konsequenzen, das Gaußsche Lemma, die Darstellung symmetrischer durch elementarsymmetrische Polynome, und ähnliches. Das Herausarbeiten der Grundbegriffe ist ebenfalls kein Hauptanliegen des Autors; begnügt er sich beispielsweise beim Begriff des Polynoms mit dem Konzept eines formalen Ausdrucks in einer Unbestimmten (indéterminée).
Frage des persönlichen Geschmacks ist eine weitere Darstellungstechnik, nämlich Text und Übungen so zu vermischen, daß die Übergänge oft kaum zu erkennen sind. Das entlastet natürlich den Text von manchen langwierigen Einzelheiten und zwingt den Leser zu intensiver Mitarbeit, zumal Übungsresultate häufig später bei Beweisen herangezogen werden und sich dies am Ort der Aufgabe nicht vorhersehen läßt. Die meisten Probleme erschienen uns glücklicherweise relativ leicht. Nicht unerwartet ist der Text mit Druckfehlern übersät, und auch Ungenauigkeiten in den Beweisen sind übersehen worden; z.B. fehlt beim Beweis von Satz 8 (p. 29 ff) der Hinweis, daß keine nichttriviale Lösung in \(L\) liegen kann; und Satz 6 (p. 211) wird entgegen der Formulierung nur für den Körper der reellen Zahlen bewiesen, da sich der Beweis auf Artins Satz (p. 199) stützt, wobei ein etwa intendierter Hinweis auf Tarski’s Prinzip fehlt.
Die Darstellung in den ersten zwei Dritteln des Buches folgt im wesentlichen dem dritten Band des bekannten Lehrbuches von N. Jacobson; wir diskutieren im folgenden kurz den Inhalt der einzelnen Kapitel: (2) Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes mittels Gaußscher Summen; (3) elementare Tatsachen der Gruppentheorie, z.B. die Sylowschen Sätze; (4) Bewertungen, vollständige und Henselsche Körper, einschließlich eines sehr rechnerischen Abschnittes über konvergente Potenzreihen über \(p\)-adischen Zahlen; (5) und (6) Beschreibung des Witt-Ringes und seine Anwendung auf abelsche \(p\)-Erweiterungen gemäß dem ursprünglichen Vorgehen Witts (oder Jacobsons) – auf den Zusammenhang mit quadratischen Formen wird nicht eingegangen; (7) die Krullsche Galois-Theorie unendlicher Körpererweiterungen, mit technischen Einzelheiten über projektive Limites topologischer Gruppen; (8) abelsche Hülle der rationalen Zahlen; (9) angeordnete Körper, einschließlich des Standardbeweises der Eindeutigkeit der reellen Hülle mittels Sturmscher Folgen. Von einigem Interesse ist der Begriff eines \(F\)-abgeschlossenen Körpers bzgl. einer formal-positiven Teilmenge \(F\) (zu jeder echten algebraischen Erweiterung existiert eine Anordnung von \(k\), für die \(F\) positiv ausfällt und die sich nicht fortsetzen läßt); zahlreiche Eigenschaften reell-abgeschlossener Körper gelten auch für \(F\)-abgeschlossene, was besonders zur Konstruktion von Beispielen ausgenutzt wird. Der letzte Abschnitt 7 (der im Inhaltsverzeichnis fehlt) behandelt Pythagoräische Körper.
Von hier an gewinnt das Werk an Originalität und behandelt neuere Resultate: (10) Quadratsummen, die Menge aller Summen von \(q\) Quadraten ist multiplikativ abgeschlossen für jeden Körper genau dann, wenn \(q\) eine Potenz von 2 ist. Artins Satz über die Darstellung positiv-wertiger rationaler Funktionen in \(n\) Variablen als Quadratsummen, und Pfisters Abschätzung \(2^n\) für die Anzahl der benötigten Quadrate; (11) die diophantische Dimension eines Körpers \(K\) (das kleinste reelle \(r\) derart, daß jedes homogene Polynom vom Grade \(d\) in mehr als \(d^r\) Variablen eine nicht-triviale Nullstelle in \(K\) besitzt) wird diskutiert und für etliche interessante Fälle bestimmt oder abgeschätzt.
Der Referent hat besonders die späteren Kapitel mit wachsendem Interesse gelesen und glaubt, daß jeder Leser mit einigen Vorkenntnissen über Körpertheorie diese Darstellung reizvoller klassischer und neuerer Resultate durch einen der führenden Fachleute zu schätzen wissen wird.

MSC:

11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
11R18 Cyclotomic extensions
11S20 Galois theory
11T55 Arithmetic theory of polynomial rings over finite fields
12D99 Real and complex fields
12E99 General field theory
12F05 Algebraic field extensions
12F10 Separable extensions, Galois theory
12F20 Transcendental field extensions
12J10 Valued fields
12J15 Ordered fields
11E81 Algebraic theory of quadratic forms; Witt groups and rings