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Sur les propriétés arithmétiques des développements holomorphes des fonctions exprimables en termes finis. (French) JFM 52.0298.02
Sind die Koeffizienten der Reihe \[ a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots \tag{1} \] rationale Zahlen, ist \[ a_n =\frac{q_n}{r_n}\,,\quad (q_n, r_n) = 1 \] und \(p_n\) der größte Primzahlteiler von \(r_n\), so hat Tschebycheff folgendes bewiesen: Kann die Funktion (1) durch endlich viele elementare Transzendenten ausgedrückt werden, so ist \(p_n = O(n)\). Verf. setzt in seinen Untersuchungen voraus, daß \(a_n\) die Form \(\sum\limits_{k=1}^{m-1} \dfrac{P_{nk}(\xi_1,\ldots,\xi_q)\theta^k} {P_n(\xi_1,\ldots,\xi_q)}\) hat, wobei zwischen den \(\xi_s\), keine algebraische Beziehung mit ganzen rationalen Zahlen besteht, während \(\theta\) einer in \(K(\xi_1,\ldots,\xi_q)\) irreduziblen algebraischen Gleichung \(m\)-ten Grades genügt. Ferner sind \(P_{nk}(\xi,\ldots, \xi_q)\), \(P_{n}(\xi,\ldots, \xi_q)\) Polynome in \(\xi_1\), \(\ldots\), \(\xi_q\) mit ganzen rationalen Koeffizienten.
Nachdem Verf. eine Arithmetik für Polynome dieser Art aufgebaut hat, untersucht er eingehend, wann die Koeffizienten von (1) die Eigenschaft \(A(\varrho, \sigma)\) besitzen, und bei welchen Operationen sie erhalten bleibt. Mit der “Eigenschaft \(A(\varrho, \sigma)\)” ist gemeint: \[ p_n = O (n^\varrho)\qquad \text{und}\qquad (3)\quad \lambda_n= O (n^\sigma) \qquad\qquad(\varrho,\,\sigma>0), \tag{2} \] wenn \(\lambda_n\) der Exponent einer Primzahlpotenz ist, die in \(r_n\) aufgeht. Der Satz von Tschebycheff bezieht sich auf die Eigenschaft (2). Zuletzt dehnt Verf. seine Resultate auch auf Entwicklungen vom algebroiden Typus \(\sum\limits_{n=-\mu}^\infty a_n z^{\frac nd}\) aus.
Für die Einzelheiten muß auf die Abhandlung selbst verwiesen werden, da die Erklärung der Bezeichnungen zu viel Platz erfordern würde.
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