Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. (French) JFM 48.0201.01

Banach, St.

Fundamenta math. 3, 133-181 (1922).

Diese Abhandlung, des Verf. Lemberger Dr.-Thèse, behandelt eine Reihe von verschiedenen Funktionenräumen und darauf sich beziehende Funktionaloperationen in einheitlicher systematischer Weise. Die Einheitlichkeit wird ermöglicht durch eine axiomatische Definition des betrachteten abstrakten Raumes \(E\); und zwar dient dabei offenbar das System der Vektoren als Vorbild (so daß nicht etwa, wie bei Fréchet, der Entfernungsbegriff die zentrale Rolle spielt). Es wird zunächst in der üblichen Weise axiomatisch eingeführt: die Addition der Elemente von \(E\) und die Multiplikation eines solchen Elements mit einer reellen Zahl sowie die “Norm” \(\|X\|\) eines Elements \(X\), eine \(X\) zugeordnete nicht-negative, reelle Zahl, welche dem absoluten Betrag entspricht. Mit Hilfe dieser Norm wird der Begriff der Konvergenz definiert, und es wird ferner die Gültigkeit des Cauchyschen Konvergenzsatzes (also in Hausdorffs Bezeichnungsweise: die “Vollständigkeit” von \(E\)) postuliert. Eine Reihe der üblichen Sätze über Norm und limes ergeben sich in der üblichen Weise. Mit Benutzung des Begriffs der Kugel werden dann Haufungspunkt und die damit zusammenhängenden Begriffe eingeführt. Nunmehr werden die (eindeutigen) Funktionen oder Operationen \(F(X)\) betrachtet, wobei \(X\) einem Felde \(E\), die Funktionswerte einem Bereich \(E_1\) angehören, die beide den früheren Axiomen genügen sollen. In üblicher Weise wird Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit, Konvergenz von Funktionenfolgen und die 1. Bairesche Funktionenklasse definiert. – Der II. Abschnitt ist sodann den additiven Operationen gewidmet, für welche \(F(X + Y) = F(X) + F(Y)\). Es wird der Satz bewiesen: Die additive Operation \(F(X)\), die auf einer Kugel \(K\) (von \(E\)) beschränkt ist, ist in jedem Punkt des Feldes \(E\) stetig. So daß also eine additive Operation, die für einen Punkt stetig ist, für alle anderen auch stetig ist. Zugleich ergibt sich für jede additive stetige Operation \(F(X)\) die Existenz einer positiven Zahl \(M\), so daß für alle \(X\): \[ \| F(X)\|\leqq M \|X\|.\tag{1} \] Nach weiteren Sätzen über additive stetige Funktionen und Folgen von solchen Funktionen wird die Lösung der (der Integralgleichung zweiter Art entsprechenden) Gleichung \[ X + hF(X) = Y\tag{2} \] gewonnen (wobei \(Y\) gegeben, \(X\) unbekannt und \(F(X)\) eine additive stetige Funktionaloperation ist, deren Bereich \(E_1\) in \(E\) enthalten ist), und zwar mit Hilfe des Iterationsverfahrens in der Form: \[ X=Y+\sum_{n=1}^\infty(-1)^nh^nF^{(n)}(Y),\tag{3} \] wo \(F^{(n)}\) die \(n\)-fach iterierte Operation \(F\) bedeutet und wobei \(|h| < \biggl |\dfrac{1}{M_0}\biggr |\) ist, wenn \(M_0\) die kleinste der (1) genügenden Zahlen M ist. – Im III. Abschnitt wird nun vorausgesetzt, daß das Feld \(E\) aus meßbaren Funktionen (einer Veränderlichen) \(X(t)\) gebildet werden soll, die in einem Intervall \([a, b]\) fast überall definiert seien; dabei werden zwei nur in einer Nullmenge sich unterscheidende Funktionen nicht als verschieden betrachtet. Unter Benutzung des Begriffs der asymptotischen Konvergenz werden für das Feld \(E\) noch drei weitere Axiome formuliert. Es werden dann noch zwei Sätze über \[ \int_a^bK(s, t)\cdot X(t) \,dt \tag{4} \] bewiesen, von denen der eine die Norm von (4) abschätzt: \(|| (4) || \leqq M\). \(|| X(t) ||\), wobei \(M\) eine von \(X(t)\) unabhängige Konstante ist; während der andere aussagt, daß (4) asymptotisch gegen 0 konvergiert, wenn \(X\) eine Folge durchläuft, deren Norm gegen 0 konvergiert. – Schließlich wird nachgewiesen, daß alle hier verwendeten Axiome der Felder \(E\) erfüllt sind für die folgenden Funktionenräume: 1. Menge der stetigen Funktionen, 2. der summierbaren Funktionen, 3. der mit ihrer \(r\)-ten Potenz summierbaren Funktionen, 4. der beschränkten meßbaren Funktionen, 5. der beschränkten Ableitungen; ferner 6.–10. der Funktionen, die eine totalstetige \((p - 1)\)-te Ableitung besitzen, während die \(p\)-te Ableitung einer bestimmten der vorher genannten Klassen 1.–5. angehört. Jedesmal wird dabei Addition zweier Elemente und Multiplikation eines Elements mit einer reellen Zahl in der üblichen Weise definiert; besonders wesentlich ist aber natürlich die geeignete Definition der “Norm”: z. B. für eine Funktion \(f (x)\) von 1. und 5. wird sie gleich dem Maximum von \(| f (x) |\); für 3. \((r \geqq 1)\) gleich \[ \root r \of{\int_a^b|f(x)|^r\,dx.} \] Beim Nachweis der Gültigkeit der Axiome werden manche interessante Hilfssätze abgeleitet, von denen wir den folgenden hervorheben: Ist \(\{f_n(x)\}\) eine Folge von Funktionen beschränkter Schwankung in \([a, b]\) und liegen für alle \(n\) Max \(| f (x) |\) und Variation von \(f (x)\) unter einer festen Schranke \(M\), dann kann man aus der Folge \(\{f_n(x)\}\) eine Teilfolge auswählen, die überall gegen eine Funktion von beschränkter Schwankung konvergiert. (IV 3 C, IV 7.)

Reviewer: Rosenthal, Prof. (Heidelberg)

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Mengenlehre. Allgemeines und abstrakteMengen. Punktmengen.